Feladat: B.3484 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baráth Géza ,  Bóka Gergely ,  Borgátai Diána ,  Dénes Ferenc ,  Erdős Dóra ,  Filus Tamás ,  Kajtár Máté ,  Klobb Maja ,  Kovács Dóra Judit ,  Maga Péter ,  Márton Sándor ,  Mosolygó György ,  Nyul Balázs ,  Oláh Zsolt ,  Pongrácz András ,  Salát Máté ,  Slíz György ,  Strenner Balázs ,  Szabó Áron ,  Szemjon Viktória ,  Szücs András ,  Tulokdi Áron 
Füzet: 2002/április, 219 - 220. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometriával, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/október: B.3484

Egy háromszög α, β, γ szögeire ctgα2, ctgβ2, ctgγ2 egymást követő egész számok. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Legyen ctgα2=n, ctgβ2=n-1, ctgγ2=n-2, ahol n egész szám. Megmutatjuk, hogy a feladat feltételeit (hasonlóság erejéig) legfeljebb egy háromszög elégítheti ki. Tegyük fel ugyanis, hogy az α', β', γ' szögű háromszög is megfelelő, azaz alkalmas k egésszel ctgα'2=k, ctgβ'2=k-1, ctgγ'2=k-2. A háromszögek félszögei a (0,π2) intervallumhoz tartoznak, ott pedig a ctgx függvény szigorúan monoton fogyó. Ha föltesszük, hogy k=n, akkor ctgα'2=ctgα2 miatt α'=α, és ugyanígy β'=β és γ'=γ. Ha nem ez a helyzet, akkor föltehető, hogy k>n. Ekkor viszont ctgα'2>ctgα2 miatt α'<α, és β'<β és γ'<γ, ami lehetetlen.
 
 

Elegendő tehát egyetlen olyan háromszöget találni, ami teljesíti a feltételeket. Az ábráról könnyen leolvasható, hogy ilyen az a derékszögű háromszög, amelynek oldalai 3, 4, 5. Ennek legnagyobb szöge γ=π2.
Filus Tamás (Szeged, Radnóti M. Kísérleti Gimn., 9. évf.) megoldása

 
II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseit használjuk. A tangensfüggvényre vonatkozó addíciós képlet szerint
ctgβ2=ctg(π2-α+γ2)=tg(α2+γ2)=tgα2+tgγ21-tgα2tgγ2,
azaz
n-1=1n+1n-21-1n(n-2)=2(n-1)n2-2n-1,n2-2n-1=2,(n-3)(n+1)=0.
Mivel egy háromszög bármelyik szögének a fele 0 és π2 közé esik és az ilyen szögek kotangense pozitív, az egyetlen megoldás n=3, tehát a legnagyobb szögre ctgγ2=1, vagyis γ derékszög.
Szemjon Viktória (Kárpátalja, Jánosi, Jánosi Középiskola, 11. évf.)