Feladat: B.3467 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ambrus Gergely ,  Márton Sándor ,  Szekeres Balázs 
Füzet: 2001/november, 477 - 480. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szélsőérték-feladatok, Egész együtthatós polinomok, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/május: B.3467

Keressük meg az x(1+x)(3-x) kifejezés maximumát a pozitív számok körében a differenciálszámítás alkalmazása nélkül.* A feladat megoldása előtt ajánljuk Csete Lajos 267. oldalon kezdődő cikkének elovasását.

**

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Jelölje M a keresett maximumot. Ekkor a KöMaL 2001/5. szám 270‐281. oldalán látottak szerint M az a legnagyobb pozitív szám, amelyre az x(x+1)(3-x)=M egyenletnek egynél több megoldása van (ábra).
Az egyenlet x3-2x2-3x+M=0 alakba írható. Ebben a formában a Cardano-formula nem alkalmazható, ehhez először a másodfokú tagot ki kell küszöbölnünk. Ezt a szokásos t=x-23 helyettesítéssel érhetjük el:
x3-2x2-3x+M=(x-23)3-133(x-23)+M-7027,
így a keresett M számra a
t3-133t+M-7027=0
egyenletnek kétszeres gyöke van. Az ismert feltétel,
(q2)2+(p3)3=0
most q=M-7027 és p=-133 helyettesítésével
(M-70272)2=(139)3.
Ez két számra teljesül, ezek M=70+261327 és m=70-261327. M>0>m, és a módszerünkkel kapott feltétel (az x3-2x2-3x+M=0 egyenletnek kétszeres gyöke van) nemcsak az x(1+x)(3-x) lokális maximumára, M-re, hanem a negatív lokális minimumra, m-re is teljesül (ábra).
Az  x(1+x)(3-x)  kifejezés maximuma tehát a pozitív számok halmazán
M=70+261327.

 Szekeres Balázs (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 10. o.t.)

 
Megjegyzések. 1. A fenti okoskodásból nem derül ki ‐ a feladat ezt nem is kérdezte ‐, hogy az x milyen értékére kapjuk ezt a maximumot.
2. A kétszeres gyök meglétét feltételezve az x3-2x2-3x+M polinom (x-α)(x-β)2 gyöktényezős alakja is elvezet a megoldáshoz.
A gyökök és együtthatók közötti összefüggések szerint ugyanis
α+2β=2és(1)β2+2αβ=-3.(2)
Az (1) egyenletből α-t kifejezve a
3β2-4β-3=0
egyenletet kapjuk, ennek megoldásai
β1=2-133<0<β2=2+133.
Ismét megkaptuk az f(x)=x(1+x)(3-x) függvény lokális minimumát is, ez f(β1) (ld. ábra). A maximum értéke
f(β2)=f(2+133)=70+2613276,0646.

3. A májusi számunkban közölt cikk bemutatja, hogy az ott vizsgált x8+x28-x2 függvény maximuma hogyan határozható meg a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség felhasználásával is. Ez akkor a tényezők szimmetriáján múlott, a függvény négyzete olyan háromtényezős szorzatként volt felírható, ahol a tényezők számtani közepe már nem függött az x-től. Ez a trükk most látszólag nem működik. Tanulságos megnézni, hogyan alkalmazható mégis, miközben ez I. megoldás t változója új szerepben tűnik fel.

 
II. megoldás. A t=x-23 változó bevezetésével az I. megoldásban látottak szerint x(1+x)(3-x)=-t3+133t+7027, azaz a vizsgált szorzat maximumához elegendő megtalálni a g(t)=t(133-t2) maximumát, a keresett érték ennél 7027-del nagyobb. Az x>0 feltétel most t>-23-ot jelent, de ha 0>t>-23, akkor g(t)<0=g(0), tehát a maximumot elegendő a t0 halmazon keresnünk, és maxg(t)0.
Most már minden további nélkül alkalmazható a májusi szám cikkében látott elemi módszer, g(t) a t0 halmazon pontosan akkor maximális, ha
2g2(t)=2t2(133-t2)(133-t2)
maximális. A pozitív tényezők összege 263, így a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség szerint
2g2(t)(269)3,
azaz g(t)263272=262713.
Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha 2t2=133-t2, azaz t=133.

Az x(1+x)(3-x) szorzat maximuma tehát a pozitív számok halmazán 262713+7027, és pontosan akkor van egyenlőség, ha x=133+23.
 Ambrus Gergely (Szeged, Radnóti M. Gimn., 12. o.t.)

 
Megjegyzés. Többen kísérleteztek a gyakran hatásos ,,határozatlan együttható'' módszerével, ez azonban közvetlenül nem vezet eredményre. A módszer lényege az, hogy valamelyik tényezőt megkíséreljük egy olyan ‐ pozitív ‐ c szorzóval kiegészíteni, hogy az így módosított három tényező összegéből éppen kiessen a változó, a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség felső becslésében konstans szerepeljen.
Az első két tényezőnél csak a triviális c=1 lehetséges, a harmadik tényezőre ugyan c=2 választással
x+(1+x)+2(3-x)=7,
tehát a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség szerint most
x(1+x)(6-2x)(73)3,
és így a vizsgált szorzatra
x(1+x)(3-x)12(73)3
adódik, de ebben az egyenlőtlenségben az első két tényező x és 1+x nem lehetnek egyenlők, a felhasznált egyenlőtlenségben tehát nem állhat egyenlőség, a kapott felső becslés nem a maximum, hanem csupán egy felső korlát.
A fenti módszer finomítása azonban célhoz vezet.

 
III. megoldás. A keresett c együtthatót bontsuk tovább két határozatlan tényező, u és v szorzatára, vizsgáljuk az uvf(x)=(ux)(v(1+x))(3-x) szorzat három tényezőjét. Feltételeink a következők:
i) u és v pozitív számok;
ii) a tényezők összege, ux+v(1+x)+(3-x) állandó;
iii) az ux=v(1+x)=3-x egyenletrendszernek létezik pozitív megoldása. (A szorzatra kapott felső becslésben tehát elérhető az egyenlőség.)
ii)-ből u+v=1. Ezt iii)-ba helyettesítve az
ux=(1-u)(1+x)
egyenlet megoldása x=u-11-2u, az ux=3-x egyenleté pedig x=31+u.
Ha ez a két megoldás egyenlő, akkor innen u-ra az
u2+6u-4=0
egyenlet adódik, ennek pozitív gyöke u=13-3. (Ekkor az x-re kapott mindkét tört értelmes.)
Ha most v=1-u=4-13, akkor láthatóan v is pozitív, ux+v(1+x)+(3-x)=3+v, és van olyan x, mégpedig 31+u=2+133, hogy az
(ux)(v(1+x))(3-x)
szorzat tényezői egyenlő pozitív számok.
Most már alkalmazható a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség,
uvf(x)33+v3,
és az egyenlőség lehetséges, pontosan akkor, ha x=2+133. A maximum értéke most már adódik, akár behelyettesítéssel, akár pedig úgy, hogy a jobb oldal köbét elosztjuk az uv szorzattal. Az eredmény összevonás és egyszerűsítés után 227(35+1313).
 Márton Sándor (Szeged, Radnóti M. Gimn., 12. o.t.)