Feladat:	B.3467	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Gergely ,  Márton Sándor ,  Szekeres Balázs
Füzet:	2001/november, 477 - 480. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték-feladatok, Egész együtthatós polinomok, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/május: B.3467

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Jelölje $M$ a keresett maximumot. Ekkor a KöMaL 2001/5. szám 270‐281. oldalán látottak szerint $M$ az a legnagyobb pozitív szám, amelyre az $x\left(x+1\right)\left(3-x\right)=M$ egyenletnek egynél több megoldása van (ábra). Az egyenlet $x^3-2x^2-3x+M=0$ alakba írható. Ebben a formában a Cardano-formula nem alkalmazható, ehhez először a másodfokú tagot ki kell küszöbölnünk. Ezt a szokásos $t=x-\frac{2}{3}$ helyettesítéssel érhetjük el: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x^3-2x^2-3x+M={\left(x-\frac{2}{3}\right)}^3-\frac{13}{3}\left(x-\frac{2}{3}\right)+M-\frac{70}{27}\mathrm{,}}\end{array}}}\end{array}$ így a keresett $M$ számra a $\begin{array}{c}{\displaystyle t^3-\frac{13}{3}t+M-\frac{70}{27}=0}\end{array}$ egyenletnek kétszeres gyöke van. Az ismert feltétel, $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{p}{3}\right)}^3=0}\end{array}$ most $q=M-\frac{70}{27}$ és $p=-\frac{13}{3}$ helyettesítésével $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{M-\frac{70}{27}}{2}\right)}^2={\left(\frac{13}{9}\right)}^3\mathrm{.}}\end{array}$ Ez két számra teljesül, ezek $M=\frac{70+26\cdot \sqrt[]{13}}{27}$ és $m=\frac{70-26\cdot \sqrt[]{13}}{27}$. $M>0>m$, és a módszerünkkel kapott feltétel (az $x^3-2x^2-3x+M=0$ egyenletnek kétszeres gyöke van) nemcsak az $x\left(1+x\right)\left(3-x\right)$ lokális maximumára, $M$-re, hanem a negatív lokális minimumra, $m$-re is teljesül (ábra). Az  $x\left(1+x\right)\left(3-x\right)$  kifejezés maximuma tehát a pozitív számok halmazán $\begin{array}{c}{\displaystyle M=\frac{70+26\cdot \sqrt[]{13}}{27}\mathrm{.}}\end{array}$  Szekeres Balázs (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 10. o.t.)   Megjegyzések. 1. A fenti okoskodásból nem derül ki ‐ a feladat ezt nem is kérdezte ‐, hogy az $x$ milyen értékére kapjuk ezt a maximumot. 2. A kétszeres gyök meglétét feltételezve az $x^3-2x^2-3x+M$ polinom $\left(x-\alpha \right){\left(x-\beta \right)}^2$ gyöktényezős alakja is elvezet a megoldáshoz. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések szerint ugyanis $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \alpha +2\beta }& {\displaystyle =2\text{és}}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(1\right)}\\ \hfill {\displaystyle {\beta }^2+2\alpha \beta }& {\displaystyle =-3.}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(2\right)}\end{array}}}\end{array}$ Az (1) egyenletből $\alpha$-t kifejezve a $\begin{array}{c}{\displaystyle 3{\beta }^2-4\beta -3=0}\end{array}$ egyenletet kapjuk, ennek megoldásai $\begin{array}{c}{\displaystyle {\beta }_1=\frac{2-\sqrt[]{13}}{3}<0<{\beta }_2=\frac{2+\sqrt[]{13}}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ Ismét megkaptuk az $f\left(x\right)=x\left(1+x\right)\left(3-x\right)$ függvény lokális minimumát is, ez $f\left({\beta }_1\right)$ (ld. ábra). A maximum értéke $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left({\beta }_2\right)=f\left(\frac{2+\sqrt[]{13}}{3}\right)=\frac{70+26\cdot \sqrt[]{13}}{27}\approx 6\mathrm{,}0646.}\end{array}$ 3. A májusi számunkban közölt cikk bemutatja, hogy az ott vizsgált $x\cdot \frac{8+x}{2}\cdot \frac{8-x}{2}$ függvény maximuma hogyan határozható meg a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség felhasználásával is. Ez akkor a tényezők szimmetriáján múlott, a függvény négyzete olyan háromtényezős szorzatként volt felírható, ahol a tényezők számtani közepe már nem függött az $x$-től. Ez a trükk most látszólag nem működik. Tanulságos megnézni, hogyan alkalmazható mégis, miközben ez I. megoldás $t$ változója új szerepben tűnik fel.   II. megoldás. A $t=x-\frac{2}{3}$ változó bevezetésével az I. megoldásban látottak szerint $x\left(1+x\right)\left(3-x\right)=-t^3+\frac{13}{3}t+\frac{70}{27}$, azaz a vizsgált szorzat maximumához elegendő megtalálni a $g\left(t\right)=t\left(\frac{13}{3}-t^2\right)$ maximumát, a keresett érték ennél $\frac{70}{27}$-del nagyobb. Az $x>0$ feltétel most $t>-\frac{2}{3}$-ot jelent, de ha $0>t>-\frac{2}{3}$, akkor $g\left(t\right)<0=g\left(0\right)$, tehát a maximumot elegendő a $t\ge 0$ halmazon keresnünk, és $\underset{}{\overset{}{\text{max}}}g\left(t\right)\ge 0$. Most már minden további nélkül alkalmazható a májusi szám cikkében látott elemi módszer, $g\left(t\right)$ a $t\ge 0$ halmazon pontosan akkor maximális, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle 2g^2\left(t\right)=2t^2\left(\frac{13}{3}-t^2\right)\left(\frac{13}{3}-t^2\right)}\end{array}$ maximális. A pozitív tényezők összege $\frac{26}{3}$, így a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle 2g^2\left(t\right)\le {\left(\frac{26}{9}\right)}^3\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $g\left(t\right)\le \frac{\sqrt[]{{26}^3}}{27\cdot \sqrt[]{2}}=\frac{26}{27}\cdot \sqrt[]{13}$. Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha $2t^2=\frac{13}{3}-t^2$, azaz $t=\frac{\sqrt[]{13}}{3}$. Az $x\left(1+x\right)\left(3-x\right)$ szorzat maximuma tehát a pozitív számok halmazán $\frac{26}{27}\cdot \sqrt[]{13}+\frac{70}{27}$, és pontosan akkor van egyenlőség, ha $x=\frac{\sqrt[]{13}}{3}+\frac{2}{3}$.  Ambrus Gergely (Szeged, Radnóti M. Gimn., 12. o.t.)   Megjegyzés. Többen kísérleteztek a gyakran hatásos ,,határozatlan együttható'' módszerével, ez azonban közvetlenül nem vezet eredményre. A módszer lényege az, hogy valamelyik tényezőt megkíséreljük egy olyan ‐ pozitív ‐ $c$ szorzóval kiegészíteni, hogy az így módosított három tényező összegéből éppen kiessen a változó, a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség felső becslésében konstans szerepeljen. Az első két tényezőnél csak a triviális $c=1$ lehetséges, a harmadik tényezőre ugyan $c=2$ választással $\begin{array}{c}{\displaystyle x+\left(1+x\right)+\text{2}\left(3-x\right)=\mathrm{7,}}\end{array}$ tehát a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség szerint most $\begin{array}{c}{\displaystyle x\left(1+x\right)\left(6-2x\right)\le {\left(\frac{7}{3}\right)}^3\mathrm{,}}\end{array}$ és így a vizsgált szorzatra $\begin{array}{c}{\displaystyle x\left(1+x\right)\left(3-x\right)\le \frac{1}{2}{\left(\frac{7}{3}\right)}^3}\end{array}$ adódik, de ebben az egyenlőtlenségben az első két tényező $x$ és $1+x$ nem lehetnek egyenlők, a felhasznált egyenlőtlenségben tehát nem állhat egyenlőség, a kapott felső becslés nem a maximum, hanem csupán egy felső korlát. A fenti módszer finomítása azonban célhoz vezet.   III. megoldás. A keresett $c$ együtthatót bontsuk tovább két határozatlan tényező, $u$ és $v$ szorzatára, vizsgáljuk az $u\cdot v\cdot f\left(x\right)=\left(ux\right)\cdot \left(v\left(1+x\right)\right)\cdot \left(3-x\right)$ szorzat három tényezőjét. Feltételeink a következők: i) $u$ és $v$ pozitív számok; ii) a tényezők összege, $ux+v\left(1+x\right)+\left(3-x\right)$ állandó; iii) az $ux=v\left(1+x\right)=3-x$ egyenletrendszernek létezik pozitív megoldása. (A szorzatra kapott felső becslésben tehát elérhető az egyenlőség.) ii)-ből $u+v=1$. Ezt iii)-ba helyettesítve az $\begin{array}{c}{\displaystyle ux=\left(1-u\right)\left(1+x\right)}\end{array}$ egyenlet megoldása $x=\frac{u-1}{1-2u}$, az $ux=3-x$ egyenleté pedig $x=\frac{3}{1+u}$. Ha ez a két megoldás egyenlő, akkor innen $u$-ra az $\begin{array}{c}{\displaystyle u^2+6u-4=0}\end{array}$ egyenlet adódik, ennek pozitív gyöke $u=\sqrt[]{13}-3$. (Ekkor az $x$-re kapott mindkét tört értelmes.) Ha most $v=1-u=4-\sqrt[]{13}$, akkor láthatóan $v$ is pozitív, $ux+v\left(1+x\right)+\left(3-x\right)=3+v$, és van olyan $x$, mégpedig $\frac{3}{1+u}=\frac{2+\sqrt[]{13}}{3}$, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(ux\right)\cdot \left(v\left(1+x\right)\right)\cdot \left(3-x\right)}\end{array}$ szorzat tényezői egyenlő pozitív számok. Most már alkalmazható a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség, $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{u\cdot v\cdot f\left(x\right)}\le \frac{3+v}{3}\mathrm{,}}\end{array}$ és az egyenlőség lehetséges, pontosan akkor, ha $x=\frac{2+\sqrt[]{13}}{3}$. A maximum értéke most már adódik, akár behelyettesítéssel, akár pedig úgy, hogy a jobb oldal köbét elosztjuk az $uv$ szorzattal. Az eredmény összevonás és egyszerűsítés után $\frac{2}{27}\left(35+13\sqrt[]{13}\right)$.  Márton Sándor (Szeged, Radnóti M. Gimn., 12. o.t.)