Feladat: 3330. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Fehérvári Bence ,  Hárs Annamária ,  Komjáthy Júlia ,  Rácz Judit ,  Selyem Noémi Renáta ,  Szilágyi Tamás 
Füzet: 2001/február, 118 - 119. oldal  PDF file
Témakör(ök): Görbületi nyomás, Felületi feszültségből származó energia, Elektromos mező energiája, energiasűrűsége, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/március: 3330. fizika feladat

p0 külső légnyomás mellett egy r sugarú szappanbuborékot fújunk. Ha Q elektromos töltést viszünk rá, a buborék sugara R-re nő. Mekkora a szappanoldat felületi feszültsége?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a buborék belsejében levő levegő nyomását töltetlen állapotban p1-gyel, az elektromosan feltöltött buboréknál p2-vel, a külső légnyomást pedig p0-lal.
Képzeljük el, hogy a töltetlen buborékba egy szívószálon keresztül óvatosan még egy kevés levegőt fújunk, s ezáltal a sugara r-ről egy kicsit nagyobb r+Δr-re változik. A buborék térfogatának változása ilyenkor

ΔV=4πr2Δr,
az általunk végvett munka tehát
W=p1ΔV=p14πr2Δr.(1)
Ez a munka egyrészt a felület (külső és belső oldalának) változásából származó felületi energia növekedését fedezi:
W1=2α[4π(r+Δr)2-4πr2]16παrΔr,(2)
másrészt a külső légnyomás ellenében végzünk
W2=p0ΔV=p04πr2Δr(3)
munkát (a légkört egy kicsit ,,megemeljük''). A munkatétel szerint W=W1+W2, ahonnan (1), (2) és (3) felhasználásával
p1=p0+4αr.(4)

Végezzük el ugyanezt a számítást az elektromosan töltött buborék esetében is, vagyis hasonlítsuk össze az R sugarú és az R+ΔR sugarú buborékok energiaviszonyait. A buborék felfúvásakor végzett
W=p2ΔV=p24πR2ΔR(5)
munka egyrészt a felületi energia növekedését fedezi:
W1=2α[4π(r+ΔR)2-4πR2]16παRΔR,(6)
növeli a légkör helyzeti energiáját:
W2=p0ΔV=p04πR2ΔR,(7)
továbbá változást idéz elő az elektromosan töltött szappanbuborék elektrosztatikus energiájában. Tekintettel arra, hogy egy Q töltésű, R sugarú gömb (gömbkondenzátor) kapacitása C=Q/k (ahol k a Coulomb-törvényben szereplő állandó), a
Q22C=kQ22R
elektrosztatikus energia megváltozása:
W3=kQ22(R+ΔR)-kQ22R=-kQ22(R+ΔR)RΔR-kQ22R2ΔR.(8)
Felírhatjuk, hogy W=W1+W2+W3, ahonnan (5)‐(8) alapján
p2=p0+4αR-kQ28πR4.(9)

Feltételezhetjük még, hogy a buborék feltöltése közben a hőmérséklete nem változik, így a Boyle‐Mariotte-törvény alkalmazható:
p14π3r3=p24π3R3,
ahonnan (4) és (9) segítségével a folyadék felületi feszültsége kifejezhető:
α=kQ232πR(R2-r2)-p0(R2+rR+r2)4(R+r).

 Fehérvári Bence (Dombóvár, Illyés Gy. Gimn., 10. o.t.) dolgozata alapján