Kezdőlap


Feladat:	3330. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fehérvári Bence , Hárs Annamária , Komjáthy Júlia , Rácz Judit , Selyem Noémi Renáta , Szilágyi Tamás
Füzet:	2001/február, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Görbületi nyomás, Felületi feszültségből származó energia, Elektromos mező energiája, energiasűrűsége, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/március: 3330. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a buborék belsejében levő levegő nyomását töltetlen állapotban $p_{1}$ -gyel, az elektromosan feltöltött buboréknál $p_{2}$ -vel, a külső légnyomást pedig $p_{0}$ -lal.
Képzeljük el, hogy a töltetlen buborékba egy szívószálon keresztül óvatosan még egy kevés levegőt fújunk, s ezáltal a sugara $r$ -ről egy kicsit nagyobb $r + Δ r$ -re változik. A buborék térfogatának változása ilyenkor

\begin{matrix} Δ V = 4 π r^{2} Δ r, \end{matrix}

az általunk végvett munka tehát

\begin{matrix} W = p_{1} Δ V = p_{1} \cdot 4 π r^{2} Δ r . \end{matrix}

(1)

Ez a munka egyrészt a felület (külső és belső oldalának) változásából származó felületi energia növekedését fedezi:

\begin{matrix} W_{1} = 2 α [4 π {(r + Δ r)}^{2} - 4 π r^{2}] \approx 16 π α r Δ r, \end{matrix}

(2)

másrészt a külső légnyomás ellenében végzünk

\begin{matrix} W_{2} = p_{0} Δ V = p_{0} \cdot 4 π r^{2} Δ r \end{matrix}

(3)

munkát (a légkört egy kicsit ,,megemeljük''). A munkatétel szerint

W = W_{1} + W_{2}

, ahonnan (1), (2) és (3) felhasználásával

\begin{matrix} p_{1} = p_{0} + \frac{4 α}{r} . \end{matrix}

(4)

Végezzük el ugyanezt a számítást az elektromosan töltött buborék esetében is, vagyis hasonlítsuk össze az

R

sugarú és az

R + Δ R

sugarú buborékok energiaviszonyait. A buborék felfúvásakor végzett

\begin{matrix} W = p_{2} Δ V = p_{2} \cdot 4 π R^{2} Δ R \end{matrix}

(5)

munka egyrészt a felületi energia növekedését fedezi:

\begin{matrix} W_{1} = 2 α [4 π {(r + Δ R)}^{2} - 4 π R^{2}] \approx 16 π α R Δ R, \end{matrix}

(6)

növeli a légkör helyzeti energiáját:

\begin{matrix} W_{2} = p_{0} Δ V = p_{0} \cdot 4 π R^{2} Δ R, \end{matrix}

(7)

továbbá változást idéz elő az elektromosan töltött szappanbuborék elektrosztatikus energiájában. Tekintettel arra, hogy egy

Q

töltésű,

R

sugarú gömb (gömbkondenzátor) kapacitása

C = Q / k

(ahol

k

a Coulomb-törvényben szereplő állandó), a

\begin{matrix} \frac{Q^{2}}{2 C} = k \frac{Q^{2}}{2 R} \end{matrix}

elektrosztatikus energia megváltozása:

\begin{matrix} W_{3} = k \frac{Q^{2}}{2 (R + Δ R)} - k \frac{Q^{2}}{2 R} = - k \frac{Q^{2}}{2 (R + Δ R) R} Δ R \approx - k \frac{Q^{2}}{2 R^{2}} Δ R . \end{matrix}

(8)

Felírhatjuk, hogy

W = W_{1} + W_{2} + W_{3}

, ahonnan (5)‐(8) alapján

\begin{matrix} p_{2} = p_{0} + \frac{4 α}{R} - k \frac{Q^{2}}{8 π R^{4}} . \end{matrix}

(9)

Feltételezhetjük még, hogy a buborék feltöltése közben a hőmérséklete nem változik, így a Boyle‐Mariotte-törvény alkalmazható:

\begin{matrix} p_{1} \cdot \frac{4 π}{3} r^{3} = p_{2} \cdot \frac{4 π}{3} R^{3}, \end{matrix}

ahonnan (4) és (9) segítségével a folyadék felületi feszültsége kifejezhető:

\begin{matrix} α = \frac{k Q^{2}}{32 π R (R^{2} - r^{2})} - \frac{p_{0} (R^{2} + r R + r^{2})}{4 (R + r)} . \end{matrix}

Fehérvári Bence (Dombóvár, Illyés Gy. Gimn., 10. o.t.) dolgozata alapján