Feladat: 734. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh Gábor ,  Büttner György ,  D. Tóth Balázs ,  Grósz Tamás ,  Herneczki István ,  Jung József ,  Kerekes Andor ,  Korpássy Péter ,  Nagy Zsigmond ,  Szörényi Árpád 
Füzet: 1968/szeptember, 44 - 46. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Egyéb változó tömegű testek, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/december: 734. fizika feladat

r=10cm rádiuszú, M=1000 gramm tömegű tömör henger tengelye vízszintes; ϱ=2cm rádiuszú csapágyának kerületén F=600pond állandó nagyságú súrlódási erő működik. A hengerre f=50 menetben δ=1mm vastag, elhanyagolható tömegű szalag van csavarva és ennek végén m=100 grammos tömeg lóg. Elengedjük ezt a lelógó tömeget. Hány fordulat után válik a mozgás egyenletessé, és mennyi ekkor a lelógó tömeg sebessége?
 
 


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mozgás akkor válik (pillanatnyilag) egyenletessé, amikor a henger szöggyorsulása nulla, vagyis amikor a hengerre ható erők forgatónyomatéka nulla. A hengerre a következő erők hatnak: a szalag húzó ereje, a súrlódási erő a csapágynál, a súlyerő (a henger saját súlya) és a csapágyban fellépő (függőleges irányú) reakcióerő. Az utóbbi két erő forgatónyomatéka nyilvánvalóan nulla, és a szalag húzó ereje, ha a szöggyorsulás nulla (és csak ekkor) egyenlő a kötélre akasztott test súlyával. A mozgás egyenletessé x fordulat után válik. Így a forgatónyomatékok összege:

mg[(f-x)δ+r]-Fϱ=0.
Innen
x=f+rδ-Fϱmgϱ.
Behelyettesítve adatainkat azt kapjuk, hogy x=30 fordulat után válik a mozgás egyenletessé.
A szalag végén lógó test sebességét az energiatétel segítségével kaphatjuk meg. A test helyzeti energiája átalakul mozgási energiává, a henger forgási energiájává és súrlódási munkavégzés is van.
 

 

1. ábra
 

Legyen h a letekeredett fonál hossza, v a test sebessége, ω a henger szögsebessége, x fordulat után a szalag spirális sugara
r+(f-x)δ,
vagyis a szögsebesség és a test sebessége (kerületi sebesség) közötti összefüggés:
ω=vr+(f-x)δ.

A mozgás kezdetekor a szalag spirális sugara r+fδ volt. Mivel az egymás után következő fordulatokban a körök sugarai számtani sorozatot alkotnak, az x fordulat alatt lecsavarodott szalag hosszát a kezdeti és végső sugarak számtani középarányosával számolhatjuk:
h=x2π[r+fδ]+[r+(f-x)δ]2=xπ[2r+2fδ-xδ].
(Itt kihasználtuk azt, hogy δr,vagyis a szalag elég vékony és a spirális meneteit jó közelítéssel körnek tekinthetjük.)
x fordulat alatt a súrlódási erő munkája x2ϱπF. Így az energia megmaradását a következőképpen írhatjuk fel:
mgh=12mv2+12Iω2+x2ϱπF,
ahol I=(1/2)Mr2 a henger tehetetlenségi momentuma, egyenletes anyageloszlást feltételezve.
Az energiaegyenletbe behelyettesítve I,h és ω értékeit, kifejezhetjük v-t az x-edik fordulatban:
v=[mgxπ[2r+1fδ-xδ]+2ϱπxF12m+14Mr2[r+(f-x)δ]]1/2
Számadatainkkal:
v=352cm /s.

 Herneczki István (Sopron, Széchenyi I. g. IV. o. t.)
 

Megjegyzés. 1. A sebességet mint az x fordulat függvényét az utolsó képlet adja meg. A 2. ábrán felrajzoltuk a v(x) függvényt.
 

 

2. ábra
 

Látható, hogy a 30. fordulatig a sebesség nő, ezután csökkenni kezd, mert most a súrlódás forgatónyomatéka fékez.
A leállásig megtett fordulatok száma a sebesség képletéből [v(x)] számítható:
v(xo)=0,vagyisx0=2f+2rδ-2ϱFmgδ.


Nálunk csak x=50-ig forog, mivel elfogy a szalag.
2. Sok dolgozatot nem fogadtunk el teljes értékűnek, mivel hiányos volt bennük az indokolás. Nem utaltak arra, hogy a szalag húzó ereje azért egyezik meg mg-vel, mert a gyorsulás nulla.