Kezdőlap


Feladat:	734. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Gábor , Büttner György , D. Tóth Balázs , Grósz Tamás , Herneczki István , Jung József , Kerekes Andor , Korpássy Péter , Nagy Zsigmond , Szörényi Árpád
Füzet:	1968/szeptember, 44 - 46. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Egyéb változó tömegű testek, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/december: 734. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mozgás akkor válik (pillanatnyilag) egyenletessé, amikor a henger szöggyorsulása nulla, vagyis amikor a hengerre ható erők forgatónyomatéka nulla. A hengerre a következő erők hatnak: a szalag húzó ereje, a súrlódási erő a csapágynál, a súlyerő (a henger saját súlya) és a csapágyban fellépő (függőleges irányú) reakcióerő. Az utóbbi két erő forgatónyomatéka nyilvánvalóan nulla, és a szalag húzó ereje, ha a szöggyorsulás nulla (és csak ekkor) egyenlő a kötélre akasztott test súlyával. A mozgás egyenletessé $x$ fordulat után válik. Így a forgatónyomatékok összege:

\begin{matrix} m g [(f - x) δ + r] - F ϱ = 0. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x = f + \frac{r}{δ} - \frac{F ϱ}{m g ϱ} . \end{matrix}

Behelyettesítve adatainkat azt kapjuk, hogy

x = 30

fordulat után válik a mozgás egyenletessé.
A szalag végén lógó test sebességét az energiatétel segítségével kaphatjuk meg. A test helyzeti energiája átalakul mozgási energiává, a henger forgási energiájává és súrlódási munkavégzés is van.

1. ábra

Legyen

h

a letekeredett fonál hossza,

v

a test sebessége,

ω

a henger szögsebessége,

x

fordulat után a szalag spirális sugara

\begin{matrix} r + (f - x) δ, \end{matrix}

vagyis a szögsebesség és a test sebessége (kerületi sebesség) közötti összefüggés:

\begin{matrix} ω = \frac{v}{r + (f - x) δ} . \end{matrix}

A mozgás kezdetekor a szalag spirális sugara

r + f δ

volt. Mivel az egymás után következő fordulatokban a körök sugarai számtani sorozatot alkotnak, az

x

fordulat alatt lecsavarodott szalag hosszát a kezdeti és végső sugarak számtani középarányosával számolhatjuk:

\begin{matrix} h = x \cdot 2 π \frac{[r + f δ] + [r + (f - x) δ]}{2} = x π [2 r + 2 f δ - x δ] . \end{matrix}

(Itt kihasználtuk azt, hogy

δ ≪ r

,vagyis a szalag elég vékony és a spirális meneteit jó közelítéssel körnek tekinthetjük.)

x

fordulat alatt a súrlódási erő munkája

x \cdot 2 ϱ π F

. Így az energia megmaradását a következőképpen írhatjuk fel:

\begin{matrix} m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2} + x \cdot 2 ϱ π F, \end{matrix}

ahol

I = (1 / 2) M r^{2}

a henger tehetetlenségi momentuma, egyenletes anyageloszlást feltételezve.
Az energiaegyenletbe behelyettesítve

I, h

és

ω

értékeit, kifejezhetjük

v

-t az

x

-edik fordulatban:

\begin{matrix} v = {[\frac{m g x π [2 r + 1 f δ - x δ] + 2 ϱ π x F}{\frac{1}{2} m + \frac{1}{4} \frac{M r^{2}}{[r + (f - x) δ]}}]}^{1 / 2} \end{matrix}

Számadatainkkal:

\begin{matrix} v = 352 cm /s . \end{matrix}

Herneczki István (Sopron, Széchenyi I. g. IV. o. t.)

Megjegyzés. 1. A sebességet mint az

x

fordulat függvényét az utolsó képlet adja meg. A 2. ábrán felrajzoltuk a

v (x)

függvényt.

2. ábra

Látható, hogy a 30. fordulatig a sebesség nő, ezután csökkenni kezd, mert most a súrlódás forgatónyomatéka fékez.
A leállásig megtett fordulatok száma a sebesség képletéből

[v (x)]

számítható:

\begin{matrix} v (x_{o}) = 0, vagyis \\ x_{0} = 2 f + 2 \frac{r}{δ} - \frac{2 ϱ F}{m g δ} . \end{matrix}

Nálunk csak

x = 50

-ig forog, mivel elfogy a szalag.
2. Sok dolgozatot nem fogadtunk el teljes értékűnek, mivel hiányos volt bennük az indokolás. Nem utaltak arra, hogy a szalag húzó ereje azért egyezik meg

m g

-vel, mert a gyorsulás nulla.