Feladat: C.579 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bauer Eszter ,  Bérces Péter ,  Bérczi Kristóf ,  Bertus-Barcza Tímea ,  Besenyei Ádám ,  Birkner Tamás ,  Blastik Márta ,  Csató György ,  Csornai Gyula ,  Döme Botond ,  Erdei Zsuzsa ,  Fehér Ádám ,  Gajdos Béla ,  Hablicsek Márton ,  Klausz Ferenc ,  Kolláth Endre ,  László L. András ,  Németh Márk ,  Nyul Balázs ,  Pach Péter Pál ,  Patay Gergely ,  Sarusi Annamária ,  Tóth Ágnes ,  Varga Áron 
Füzet: 2000/november, 477 - 480. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenes körkúpok, Térfogat, Függvényvizsgálat, Kör geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/március: C.579

Egy körlapot két sugara mentén két darabra vágunk. A kapott körcikkekből kúp alakú tölcséreket formálunk. Akkor lesz-e legnagyobb a tölcsérek össztérfogata, ha félkörökből indulunk ki?

 
I. megoldás. Legyen a körlap sugara R. Ha egy átmérő mentén vágjuk ketté a kört, akkor a kúp alapkörének kerülete egyenlő a félkör kerületével, vagyis 2rπ=Rπ, ahonnan r=R2 az alapkör sugara, a kúpok magassága pedig
m=R2-r2=R2-(R2)2=R23.

A kúp kétszeres térfogata
V=2(R2)2πR233=R3π3340,4330127R3π3.

Vágjuk fel ezután két tetszőleges sugár mentén a körlapot, és készítsük el a két tölcsért. A két kúp alapkörének sugara r1 és r2.
i1=Rπα180,ahonnanr1=Rα360i2=2Rπ-i1,ahonnanr2=R(1-α360).

Legyen α360=x (0<x<1), és írjuk fel a térfogatok összegét x függvényként.
r1=Rx,m1=R2-(Rx)2=R1-x2,V1=(Rx)2πR1-x23=R3π3(x21-x2),r2=R(1-x),m2=R2-R2(1-x)2=R1-(1-x)2=R2x-x2.V2=R2(1-x)2πR2x-x23=R3π3((1-x)22x-x2).V1+V2=R3π3(x21-x2+(1-x)22x-x2).
R3π3 pozitív állandó, így a maximum keresésekor elegendő vizsgálni az
f(x)=x21-x2+(1-x)22x-x2
függvényt.
Láttuk, hogy az f(x) függvény értéke az α=180, azaz x=0,5 értékére 0,4330127.
Azt kell eldöntenünk, van-e a függvénynek a (0,1) intervallumban ennél nagyobb értéke. A függvény ábrázolásához készíthetünk táblázatot, s ha a 0,5 környezetét vizsgáljuk, hamarosan találni fogunk nagyobb értéket.
Legyen például x=0,3, azaz α108, ekkor
f(0,3)=0,321-0,32+(1-0,3)20,6-0,320,435779,
ami azt jelenti, hogy a körcikkekből formált tölcsérek össztérfogata nem̲ félkörök esetén lesz a legnagyobb.
 

Megjegyzés. A feladat kérdésére tagadó választ adhatunk akkor, ha találunk egy olyan szétvágást, amelynél a keletkezett térfogatok összege nagyobb, mint a felezéskor kapott kúpok térfogatának összege. A megoldók nagy része ezt az utat választotta.
Többen azonban abba a hibába estek, hogy kiválasztottak egy felosztást, majd a kapott térfogatok összegét kisebbnek találva a felezéskor kapott térfogatnál, kijelentették, hogy valóban a felezéskor kapott térfogatok összege a legnagyobb. Látható a különbség: az állítás cáfolatához egyetlen példa elegendő, a bizonyításhoz azonban egyáltalán nem.


 
II. megoldás. A feladatot úgy is befejezhetjük, hogy az I. megoldás f(x) függvényének megkeressük a maximumát. Csakhogy középiskolában tanult módszerekkel nemigen tudunk mit kezdeni a fenti f(x) függvénnyel.
Nézzük meg, hogyan oldható meg a feladat a Texas Instruments TI83 típusú grafikus számológépének segítségével:
Az 1. ábra standard koordináta-rendszerben mutatja a függvény kirajzolt grafikonját. Látható, hogy az x=12 igen nagy környezetében mintha azonos lenne a függvényérték. Ha az (12;f(12)) pontra ,,zoom''-olunk, akkor egy lényegében vízszintes görbeszakaszt kapunk, a függvény olyan keveset változik, hogy ez nem elegendő a döntéshez: vajon 12-nél van-e a maximum?
A grafikus megoldás kulcslépése a 2. ábrán látható: változtassuk meg az y koordinátatengely skálázását! Ekkor egyetlen gombnyomás után leolvasható a tagadó válasz (3. ábra), kiderül, hogy a függvény ,,középen behorpad'', a függvény nem az egyenlő sugarak esetén maximális.
 

1. ábra

 
2. ábra


 


3. ábra

 
4. ábra


 

Az már csak ráadás, hogy a kalkulátor a lokális maximumok értékét is meg tudja adni, ez látható a 4. ábrán.
Mivel a számológép kerekítési hibáit is figyelembe kell vennünk, ajánlatos számolással újra ellenőriznünk, hogy x=0,5 esetén valóban kisebb a függvényérték, mint x=0,675 közelében.