Feladat: C.569 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Besenyei Ádám ,  Zalán Péter 
Füzet: 2000/október, 405. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Parabola egyenlete, Kúpszeletek érintői, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/január: C.569

Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő?

Az y=x2 egyenletű parabola tengelye az y tengely, csúcsa pedig az origó. Az y=x egyenes azon P(x0;x0) pontját keressük, amelyből a parabolához két egymásra merőleges érintő húzható.
Mivel a parabolának nincsen tengely irányú érintője, a P-n átmenő érintőknek van iránytangense, egyenletük felírható
y-x0=m(x-x0)
alakban. Ha egy ilyen egyenes érinti a parabolát, akkor pontosan egy közös pontjuk van. A parabola és egyenes közös pontjának koordinátái kielégítik mindkét görbe egyenletét. A két görbének akkor van egyetlen közös pontja, ha az egyenleteikből adódó másodfokú egyenlet diszkriminánsa 0, vagyis az
x2-mx+(m-1)x0=0egyenletbenm2-4x0m+4x0=0,
ahonnan a gyökök és együtthatók közötti összefüggésből m1m2=4x0.
Tudjuk továbbá, hogy az egymásra merőleges egyenesek iránytangenseinek szorzata -1, vagyis 4x0=-1, innen x0=-14. A keresett pont tehát a P(-14;-14).
 Zalán Péter (Budapesti Evangélikus Gimn., 11. o.t.)

 
Megjegyzés. Besenyei Ádám (Tatabánya, Árpád Gimn., 12. o.t.) megmutatta, hogy az y=ax2 egyenletű parabola esetén azon pontok halmaza, amelyekből két egymásra merőleges érintő húzható a parabolához, egy egyenes, a parabola vezéregyenese. Ennek egyenlete y=-14a. Ebből nyomban adódik feladatunk megoldása.