Feladat: C.568 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Antal Ágnes ,  Árvay Eszter ,  Bankó Krisztián ,  Bérczi Kristóf ,  Besenyei Ádám ,  Birkner Tamás ,  Bóka Gergely ,  Dombi Nóra ,  Erdei Zsuzsa ,  Fehér Ádám ,  Gajdos Béla ,  Germán Tibor ,  Gyarmati-Szabó István ,  Hablicsek Márton ,  Hangya Miklós ,  Hofgárt Gergely ,  Horváth Balázs ,  Jesch Dávid ,  Kardos Péter ,  Kegyes Tamás ,  Kisfügedi Viktória ,  Kiss-Tóth Christián ,  Koczka Gergely ,  Kovács Péter ,  Lang Péter ,  Mitcsenkov Attila ,  Nagy András ,  Nagy Gábor ,  Nyul Balázs ,  Paál Csaba ,  Patay Gergely ,  Pszota Zsolt ,  Rácz Béla András ,  Reiss Attila ,  Révai Balázs ,  Ruppert László ,  Siroki László ,  Soós Károly ,  Szekeres Balázs ,  Tomsits András ,  Tóth Ágnes ,  Tóth Ferenc ,  Török Sándor Miklós ,  Török Zoltán Bálint 
Füzet: 2000/október, 404 - 405. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számtani sorozat, Mértani sorozat, Kombinatorikai leszámolási problémák, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/január: C.568

Az ötös lottó sorsolásnak hány olyan különböző kimenetele lehetséges, amelynél a nyerő számok a) számtani b) mértani sorozatot alkotnak?

a) Jelölje az 5 kihúzott számot a1, a2, a3, a4, a5, ahol a5=a1+4d; d a számtani sorozat különbsége. Ekkor a1+4d90. Mivel a1 legkisebb értéke 1, így 4d89, ahonnan d894<23, s mivel d egész, értéke legfeljebb 22. Az első elem 1 és 90-4d közé esik, és összesen 90-4d féle lehet.
A számtani sorozatok száma tehát összesen
86+82+78+...+6+2=968.

b) Ha az 5 szám mértani sorozatot alkot, akkor a5=a1q4, ahol q a sorozat hányadosa, pozitív és racionális, hiszen két egész szám hányadosa.
Legyen először q egész. Nyilván q nagyobb 1-nél, mert a sorozat tagjai különbözők, és q<4, mert különben a5a144>90 lenne, azért q=2 vagy q=3.
Ha q=2, akkor a5=q124=16a190 miatt a1 lehet 1, 2, 3, 4 és 5. Ez 5 sorozat.
Ha q=3, akkor a5=a34=81a190, ez csak a1=1 esetén teljesül. Ez 1 sorozat.
Legyen most q=ps>1 és (p,s)=1, s>1.
Ekkor a5=a1(ps)4, ahonnan a5s4=a1p4. Mivel (p,s)=1, s4a1 és p4a5. 1 és 90 között csak a p=3, s=2, a1=16, a5=81 értékek jöhetnek szóba. Ezek jók is, hiszen 16, 24, 36, 54, 81 mértani sorozat. Ez egy újabb sorozat.
Összesen tehát 7 öttagú mértani sorozat található a lottószámok között.
 Hablicsek Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 8. o.t.)