Kezdőlap


Feladat:	C.568	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal Ágnes , Árvay Eszter , Bankó Krisztián , Bérczi Kristóf , Besenyei Ádám , Birkner Tamás , Bóka Gergely , Dombi Nóra , Erdei Zsuzsa , Fehér Ádám , Gajdos Béla , Germán Tibor , Gyarmati-Szabó István , Hablicsek Márton , Hangya Miklós , Hofgárt Gergely , Horváth Balázs , Jesch Dávid , Kardos Péter , Kegyes Tamás , Kisfügedi Viktória , Kiss-Tóth Christián , Koczka Gergely , Kovács Péter , Lang Péter , Mitcsenkov Attila , Nagy András , Nagy Gábor , Nyul Balázs , Paál Csaba , Patay Gergely , Pszota Zsolt , Rácz Béla András , Reiss Attila , Révai Balázs , Ruppert László , Siroki László , Soós Károly , Szekeres Balázs , Tomsits András , Tóth Ágnes , Tóth Ferenc , Török Sándor Miklós , Török Zoltán Bálint
Füzet:	2000/október, 404 - 405. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Mértani sorozat, Kombinatorikai leszámolási problémák, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/január: C.568

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Jelölje az 5 kihúzott számot $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ , $a_{5}$ , ahol $a_{5} = a_{1} + 4 d$ ; $d$ a számtani sorozat különbsége. Ekkor $a_{1} + 4 d \leq 90$ . Mivel $a_{1}$ legkisebb értéke 1, így $4 d \leq 89$ , ahonnan $d \leq \frac{89}{4} < 23$ , s mivel $d$ egész, értéke legfeljebb 22. Az első elem 1 és $90 - 4 d$ közé esik, és összesen $90 - 4 d$ féle lehet.
A számtani sorozatok száma tehát összesen

\begin{matrix} 86 + 82 + 78 + ... + 6 + 2 = 968. \end{matrix}

b) Ha az 5 szám mértani sorozatot alkot, akkor

a_{5} = a_{1} q^{4}

, ahol

q

a sorozat hányadosa, pozitív és racionális, hiszen két egész szám hányadosa.
Legyen először

q

egész. Nyilván

q

nagyobb 1-nél, mert a sorozat tagjai különbözők, és

q < 4

, mert különben

a_{5} \geq a_{1} 4^{4} > 90

lenne, azért

q = 2

vagy

q = 3

.
Ha

q = 2

, akkor

a_{5} = q_{1} 2^{4} = 16 a_{1} \leq 90

miatt

a_{1}

lehet 1, 2, 3, 4 és 5. Ez 5 sorozat.
Ha

q = 3

, akkor

a_{5} = a_{3}^{4} = 81 a_{1} \leq 90

, ez csak

a_{1} = 1

esetén teljesül. Ez 1 sorozat.
Legyen most

q = \frac{p}{s} > 1

és

(p, s) = 1

s > 1

.
Ekkor

a_{5} = a_{1} {(\frac{p}{s})}^{4}

, ahonnan

a_{5} s^{4} = a_{1} p^{4}

. Mivel

(p, s) = 1

s^{4} ∣ a_{1}

és

p^{4} ∣ a_{5}

. 1 és 90 között csak a

p = 3

s = 2

a_{1} = 16

a_{5} = 81

értékek jöhetnek szóba. Ezek jók is, hiszen 16, 24, 36, 54, 81 mértani sorozat. Ez egy újabb sorozat.
Összesen tehát 7 öttagú mértani sorozat található a lottószámok között.

Hablicsek Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 8. o.t.)