Feladat: C.543 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ábrány Miklós ,  Babos Attila ,  Bakó Péter ,  Balka Richárd ,  Bicsák Mátyás ,  Farkas Milán ,  Gajdos Béla ,  Gueth Krisztián ,  Jesch Dávid ,  Kádas Attila ,  Kegyes Tamás ,  Király Attila ,  Patay Gergely ,  Tamás Krisztina ,  Zalán Péter 
Füzet: 2000/február, 83 - 84. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek szerkesztése, Esetvizsgálat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/május: C.543

Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy szöge és két magassága.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor az adott magasságok egyike sem indul ki az adott szög csúcsából. Legyen adva α<90, mb és mc.

 

1. ábra
 

Az mb magasságvonal talppontja AC-n B', mc talppontja az AB-n C'. A szerkesztést az ABB' vagy az ACC' háromszög bármelyikével kezdhetjük. A derékszögű háromszög két szöge és egy oldalának ismeretében megszerkeszthető. Így megkapjuk a keresett háromszög B vagy C csúcsát. Ha pl. a B csúcsot szerkesztettük meg, akkor a C csúcsról azt tudjuk, hogy az AB egyenestől adott mc távolságra van. Egy egyenestől adott távolságra lévő pontok halmaza két, az egyenestől adott távolságra lévő párhuzamos egyenes. Esetünkben azon a párhuzamoson lesz a C csúcs, amelyik az AB' félegyenest is metszi.
Az adott feltételek mellett a szerkesztés mindig egyértelmű és 1 megoldást ad. A szerkesztésből következik, hogy a háromszög eleget tesz a követelményeknek.
 

2. ábra
 

Ha α=90, akkor mivel mb=AB és mc=AC, a háromszög közvetlenül megszerkeszthető, és a szerkesztés 1 megoldást ad.
Ha α>90, akkor az ACC' derékszögű háromszögben (2. ábra) a CAC'=180-α, és az AC-vel mb távolságra húzott párhuzamosok közül az fogja a B csúcsot megadni, amelyik a C'A félegyenest az A-n túli meghosszabbításában metszi. A szerkesztés az első esethez hasonlóan történik.
Most tekintsük azt az esetet, ha a megadott magasságok egyike ugyanabból a csúcsból indul ki, mint ahol a megadott szög van: legyen adva ma, mb és α<90 (3. ábra).
 

3. ábra
 

A szerkesztést az ABB' derékszögű háromszöggel kezdjük. Az ma magasság A' talppontja rajta lesz az AB szakasz mint átmérő fölé rajzolt Thalész-kör B'-t is tartalmazó ívén. Az AB' és BA' félegyenesek metszéspontja C. Ha A' és B egybeesik, azaz ma=AB, akkor az AB-ben B-re állított merőleges metszi ki a C csúcsot az AB' félegyenesen. A feladatnak 1 megoldása van, ha maAB és 0<α90.
Ha mamb1, 1 megoldás van; ha 1<mamb1sinα, 2 megoldás van; ha pedig mamb>1sinα, akkor nincs megoldás.
α=90 esetén: ha ma<mb, 1 megoldás van, ha mamb, akkor nincs megoldás.
Végül, ha 90<α<180 és ma<mb, akkor 1 megoldás van, mamb esetén pedig nincs megoldás.
 Zalán Péter (Budapesti Evangélikus Gimn., 10. o.t.)