Kezdőlap


Feladat:	C.543	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ábrány Miklós , Babos Attila , Bakó Péter , Balka Richárd , Bicsák Mátyás , Farkas Milán , Gajdos Béla , Gueth Krisztián , Jesch Dávid , Kádas Attila , Kegyes Tamás , Király Attila , Patay Gergely , Tamás Krisztina , Zalán Péter
Füzet:	2000/február, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Esetvizsgálat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/május: C.543

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor az adott magasságok egyike sem indul ki az adott szög csúcsából. Legyen adva $α < 90^{\circ}$ , $m_{b}$ és $m_{c}$ .

1. ábra

m_{b}

magasságvonal talppontja

A C

-n

B'

m_{c}

talppontja az

A B

-n

C'

. A szerkesztést az

A B B'

vagy az

A C C'

háromszög bármelyikével kezdhetjük. A derékszögű háromszög két szöge és egy oldalának ismeretében megszerkeszthető. Így megkapjuk a keresett háromszög

B

vagy

C

csúcsát. Ha pl. a

B

csúcsot szerkesztettük meg, akkor a

C

csúcsról azt tudjuk, hogy az

A B

egyenestől adott

m_{c}

távolságra van. Egy egyenestől adott távolságra lévő pontok halmaza két, az egyenestől adott távolságra lévő párhuzamos egyenes. Esetünkben azon a párhuzamoson lesz a

C

csúcs, amelyik az

A B'

félegyenest is metszi.
Az adott feltételek mellett a szerkesztés mindig egyértelmű és 1 megoldást ad. A szerkesztésből következik, hogy a háromszög eleget tesz a követelményeknek.

2. ábra

α = 90^{\circ}

, akkor mivel

m_{b} = A B

és

m_{c} = A C

, a háromszög közvetlenül megszerkeszthető, és a szerkesztés 1 megoldást ad.
Ha

α > 90^{\circ}

, akkor az

A C C'

derékszögű háromszögben (2. ábra) a

C A C' ∢ = 180^{\circ} - α

, és az

A C

-vel

m_{b}

távolságra húzott párhuzamosok közül az fogja a

B

csúcsot megadni, amelyik a

C' A

félegyenest az

A

-n túli meghosszabbításában metszi. A szerkesztés az első esethez hasonlóan történik.
Most tekintsük azt az esetet, ha a megadott magasságok egyike ugyanabból a csúcsból indul ki, mint ahol a megadott szög van: legyen adva

m_{a}

m_{b}

és

α < 90^{\circ}

(3. ábra).

3. ábra

A szerkesztést az

A B B'

derékszögű háromszöggel kezdjük. Az

m_{a}

magasság

A'

talppontja rajta lesz az

A B

szakasz mint átmérő fölé rajzolt Thalész-kör

B'

-t is tartalmazó ívén. Az

A B'

és

B A'

félegyenesek metszéspontja

C

. Ha

A'

és

B

egybeesik, azaz

m_{a} = A B

, akkor az

A B

-ben

B

-re állított merőleges metszi ki a

C

csúcsot az

A B'

félegyenesen. A feladatnak 1 megoldása van, ha

m_{a} \leq A B

és

0^{\circ} < α \leq 90^{\circ}

.
Ha

\frac{m_{a}}{m_{b}} \leq 1

, 1 megoldás van; ha

1 < \frac{m_{a}}{m_{b}} \leq \frac{1}{sin α}

, 2 megoldás van; ha pedig

\frac{m_{a}}{m_{b}} > \frac{1}{sin α}

, akkor nincs megoldás.

α = 90^{\circ}

esetén: ha

m_{a} < m_{b}

, 1 megoldás van, ha

m_{a} \geq m_{b}

, akkor nincs megoldás.
Végül, ha

90^{\circ} < α < 180^{\circ}

és

m_{a} < m_{b}

, akkor 1 megoldás van,

m_{a} \geq m_{b}

esetén pedig nincs megoldás.

Zalán Péter (Budapesti Evangélikus Gimn., 10. o.t.)