Feladat: F.3279 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Boros M. Mátyás ,  Dancsó Zsuzsanna ,  Dénes Attila ,  Fehér Lajos Károly ,  Győri Nikolett ,  Györey Bernadett ,  Harangi Viktor ,  Horváth György ,  Keszegh Balázs ,  Kiss Gergely ,  Koczka Gergely ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Máthé András ,  Pálvölgyi Dömötör ,  Papp Dávid ,  Poronyi Gábor ,  Pszota Anikó ,  Szabadka Zoltán ,  Székelyhidi Gábor ,  Terpai Tamás ,  Vágvölgyi Péter ,  Venter György 
Füzet: 2000/január, 29 - 30. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Síkgeometriai bizonyítások, Egyenes, Pont, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/március: F.3279

Adott két, egymással 36-os szöget bezáró egyenes. Egy szöcske ugrál ide-oda egyik egyenesről a másikra úgy, hogy minden ugrásának a hossza ugyanakkora. Mutassuk meg, hogy legfeljebb tíz különböző pontba juthat el.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a két egyenest e és f, közbezárt szögüket α (a feladatban α=36), a szöcske által érintett pontoknak az egyenesek metszéspontjától való előjeles távolságát (az egyeneseken a pozitív irányt az 1. ábrán látható módon kijelölve) pedig a0, a1, a2, ... Az egyszerűség kedvéért ugyanígy hivatkozunk azokra a pontokra is, ahová a szöcske ugrik. A páros indexű távolságok, illetve a nekik megfelelő pontok legyenek az e, a páratlanok pedig az f egyenesen. A szöcske minden ugrásának hossza ugyanakkora, ezért az ai, ai+1, ai+2 (i=0, 1, 2, ...) pontok egy egyenlő szárú háromszöget határoznak meg (azt nyilván feltehetjük, hogy ai+2ai, azaz a szöcske egy ugrás után nem ugrik vissza ugyanazon az úton), tehát az ai+1 pontnak a másik egyenesen lévő merőleges vetülete felezi az ai és az ai+2 pontokat összekötő szakaszt (2. ábra). Így minden i esetén igaz, hogy

ai+2+ai=2ai+1cosα.(1)
Ez egyúttal azt is jelenti, hogy a0 és a1 egyértelműen meghatározza a szöcske pályáját.
 

1. ábra

 
2. ábra


Ismertek az (1) összefüggéshez formailag hasonló trigonometrikus azonosságok:
sin(i+2)α+siniα=2sin2i+22αcos2α2=2sin(i+1)αcosα,cos(i+2)α+cosiα=2cos2i+22αcos2α2=2cos(i+1)αcosα.
Ez azt jelenti, hogy minden c1 és c2 valós szám esetén igaz, hogy ha bi=c1siniα+c2cosiα (i=0, 1, 2, ...), akkor
bi+2+bi=2bi+1cosα.(2)
Válasszuk c1-et és c2-t úgy, hogy kielégítsék az
a0=c1sin0+c2cos0és aza1=c1sinα+c2cosα
egyenleteket, azaz legyen c1=a1-a0cosαsinα és c2=a0. Ekkor a
bi=a1-a0cosαsinαsiniα+a0cosiα(i=0,1,2,...)
sorozat kielégíti a (2) összefüggést, és mivel b0=a0 és b1=a1, azért minden i-re igaz, hogy bi=ai. Vagyis a szöcske az i-edik ugrás után
ai=a1-a0cosαsinαsiniα+a0cosiα(3)
előjeles távolságra van az e és f egyenesek metszéspontjától, páros i esetén az e, páratlan i esetén pedig az f egyenesen. A (3) kifejezésben a0, a1, cosα és sinα konstansok, ezért ha találunk egy olyan k páros számot, amire minden i esetén igaz, hogy sin(i+k)α=siniα és cos(i+k)α=cosiα, akkor ai+k=ai, és mivel k páros, azért a két végpont ugyanazon az egyenesen van; tehát ekkor a szöcske legfeljebb k pontba juthat el.
Esetünkben α=36, ezért k=10 eleget tesz a feltételeknek, s ezzel feladatunk állítását bebizonyítottuk.
 Dénes Attila (Békéscsaba, Rózsa F. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján