Kezdőlap


Feladat:	F.3279	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Boros M. Mátyás , Dancsó Zsuzsanna , Dénes Attila , Fehér Lajos Károly , Győri Nikolett , Györey Bernadett , Harangi Viktor , Horváth György , Keszegh Balázs , Kiss Gergely , Koczka Gergely , Kunszenti-Kovács Dávid , Máthé András , Pálvölgyi Dömötör , Papp Dávid , Poronyi Gábor , Pszota Anikó , Szabadka Zoltán , Székelyhidi Gábor , Terpai Tamás , Vágvölgyi Péter , Venter György
Füzet:	2000/január, 29 - 30. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Síkgeometriai bizonyítások, Egyenes, Pont, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/március: F.3279

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a két egyenest $e$ és $f$ , közbezárt szögüket $α$ (a feladatban $α = 36^{\circ}$ ), a szöcske által érintett pontoknak az egyenesek metszéspontjától való előjeles távolságát (az egyeneseken a pozitív irányt az 1. ábrán látható módon kijelölve) pedig $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ Az egyszerűség kedvéért ugyanígy hivatkozunk azokra a pontokra is, ahová a szöcske ugrik. A páros indexű távolságok, illetve a nekik megfelelő pontok legyenek az $e$ , a páratlanok pedig az $f$ egyenesen. A szöcske minden ugrásának hossza ugyanakkora, ezért az $a_{i}$ , $a_{i + 1}$ , $a_{i + 2}$ ( $i = 0$ , 1, 2, $...$ ) pontok egy egyenlő szárú háromszöget határoznak meg (azt nyilván feltehetjük, hogy $a_{i + 2} \neq a_{i}$ , azaz a szöcske egy ugrás után nem ugrik vissza ugyanazon az úton), tehát az $a_{i + 1}$ pontnak a másik egyenesen lévő merőleges vetülete felezi az $a_{i}$ és az $a_{i + 2}$ pontokat összekötő szakaszt (2. ábra). Így minden $i$ esetén igaz, hogy

\begin{matrix} a_{i + 2} + a_{i} = 2 a_{i + 1} cos α . \end{matrix}

(1)

Ez egyúttal azt is jelenti, hogy

a_{0}

és

a_{1}

egyértelműen meghatározza a szöcske pályáját.

1. ábra

2. ábra

Ismertek az (1) összefüggéshez formailag hasonló trigonometrikus azonosságok:

\begin{matrix} \begin{matrix} sin (i + 2) α + sin i \cdot α & = 2 sin \frac{2 i + 2}{2} α \cdot cos \frac{2 α}{2} = 2 sin (i + 1) α cos α, \\ cos (i + 2) α + cos i \cdot α & = 2 cos \frac{2 i + 2}{2} α \cdot cos \frac{2 α}{2} = 2 cos (i + 1) α cos α . \end{matrix} \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy minden

c_{1}

és

c_{2}

valós szám esetén igaz, hogy ha

b_{i} = c_{1} \cdot sin i α + c_{2} \cdot cos i α

(

i = 0

, 1, 2,

...

), akkor

\begin{matrix} b_{i + 2} + b_{i} = 2 b_{i + 1} cos α . \end{matrix}

(2)

Válasszuk

c_{1}

-et és

c_{2}

-t úgy, hogy kielégítsék az

\begin{matrix} a_{0} = c_{1} sin 0 + c_{2} cos 0 és az a_{1} = c_{1} sin α + c_{2} cos α \end{matrix}

egyenleteket, azaz legyen

c_{1} = \frac{a_{1} - a_{0} cos α}{sin α}

és

c_{2} = a_{0}

. Ekkor a

\begin{matrix} b_{i} = \frac{a_{1} - a_{0} cos α}{sin α} \cdot sin i α + a_{0} cos i α (i = 0, 1, 2, ...) \end{matrix}

sorozat kielégíti a (2) összefüggést, és mivel

b_{0} = a_{0}

és

b_{1} = a_{1}

, azért minden

i

-re igaz, hogy

b_{i} = a_{i}

. Vagyis a szöcske az

i

-edik ugrás után

\begin{matrix} a_{i} = \frac{a_{1} - a_{0} cos α}{sin α} sin i α + a_{0} cos i α \end{matrix}

(3)

előjeles távolságra van az

e

és

f

egyenesek metszéspontjától, páros

i

esetén az

e

, páratlan

i

esetén pedig az

f

egyenesen. A (3) kifejezésben

a_{0}

a_{1}

cos α

és

sin α

konstansok, ezért ha találunk egy olyan

k

páros számot, amire minden

i

esetén igaz, hogy

sin (i + k) α = sin i α

és

cos (i + k) α = cos i α

, akkor

a_{i + k} = a_{i}

, és mivel

k

páros, azért a két végpont ugyanazon az egyenesen van; tehát ekkor a szöcske legfeljebb

k

pontba juthat el.
Esetünkben

α = 36^{\circ}

, ezért

k = 10

eleget tesz a feltételeknek, s ezzel feladatunk állítását bebizonyítottuk.

Dénes Attila (Békéscsaba, Rózsa F. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján