Feladat: F.3277 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Székelyhidi Gábor ,  Terpai Tamás 
Füzet: 2000/január, 27 - 28. oldal  PDF file
Témakör(ök): Vektorok skaláris szorzata, Szabályos sokszögek geometriája, Helyvektorok, Aranymetszés, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/március: F.3277

Egy szabályos ötszög csúcsaiba a középpontból a v1, v2, ..., v5 vektorok mutatnak. Tegyük fel, hogy a k1, k2, k3, k4, k5 egészekre teljesül, hogy k1v1+k2v2+...+k5v5=0. Bizonyítsuk be, hogy ekkor k1=k2=...=k5.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megoldás során szükségünk lesz cos72 és cos144 pontos értékére. Ezeket az 1. ábrán látható 36-os szárszögű egyenlő szárú háromszög segítségével számoljuk ki. Használjuk az ábra jelöléseit. Az ABC és a CDB háromszögek hasonlóak, mert megfelelő szögeik egyenlők, ezért (1+x):x=x:1, amiből kapjuk, hogy x=1+52, s így AB=AC=3+52. Ezért

cos72=BC2AC=1+543+52=5-14,
amiből következik, hogy cos144=2cos272-1=-1-54.
 

1. ábra

 
2. ábra

 

Térjünk rá az eredeti feladatra. Feltehetjük, hogy a v1, v2, ..., v5 vektorok a 2. ábrán látható módon helyezkednek el, és mindegyikük hossza 1. Szorozzuk meg a k1v1+k2v2+...+k5v5=0 egyenletet skalárisan a v1 vektorral. Ekkor kapjuk, hogy
k1v12+k2v2v1+k3v3v1+k4v4v1+k5v5v1=0.
De
v2v1=v5v1=cos72  és  v3v1=v4v1=cos144,
tehát
k1+(k2+k5)5-14+(k3+k4)-1-54=0,
amit rendezve
4k1-k2-k3-k4-k5=5(k3+k4-k2-k5)
adódik. Mivel a ki-k egészek, 5 pedig irracionális, ez csak akkor teljesülhet, ha
4k1=k2+k3+k4+k5ésk2+k5=k3+k4.
Ezt a gondolatmenetet v1 helyett a vi (i=2, 3, 4, 5) vektorral megismételve azt kapjuk, hogy minden i esetén igaz az 5ki=k1+k2+...+k5 összefüggés, amiből nyilván következik, hogy k1=k2=...=k5.
 Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján

 
Megjegyzés. A feladat állítása általánosítható 5-ről tetszőleges p-re, ahol p a 2-nél nagyobb prímszám. Ennek végsősoron az az oka, hogy minden ilyen p-re az xp-1+xp-2+...+x+1 polinom irreducibilis, azaz nem bontható fel két olyan racionális együtthatós polinomnak a szorzatára, amelyeknek a foka legalább 1.