Feladat: Gy.3273 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Babos Attila ,  Birkner Tamás ,  Fodor Gyula ,  Hablicsek Márton ,  Harangi Viktor ,  Keszegh Balázs ,  Kiss Gergely ,  Kovács Erika Renáta ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Lábó Eszter ,  Lábó Melinda ,  Lovrics Anna ,  Lovrics Klára ,  Nagy Zoltán ,  Pálvölgyi Dömötör ,  Pogátsa Attila ,  Sipos Ádám ,  Somogyi Dávid ,  Székelyhidi Tamás ,  Szélig Nikoletta ,  Venter György ,  Veres Péter ,  Zséger Ádám 
Füzet: 1999/december, 531. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatóság, Algebrai átalakítások, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/április: Gy.3273

Mutassuk meg, hogy 512+210 összetett szám. (H)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A=512+210=512+210+2(5625)-2(5625)=(56+25)2-5626==(56+25-5323)(56+25+5323).
A szorzat második tényezője nyilván nagyobb 1-nél. Belátjuk, hogy 56+25-5323>1.
A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség miatt ugyanis
56+2525625=25323,
így
56+25-53235323(2-1)>1.
Tehát az A felírható két, 1-nél nagyobb egész szám szorzataként, azaz összetett szám.
Teljesen hasonló módon bizonyítható, hogy a4k+24m+2 mindig összetett szám, ha a, k és m pozitív egészek:
a4k+24m+2=(a2k+22m+1-ak2m+1)(a2k+22m+1+ak2m+1).

 Veres Péter (Székelyudvarhely, Tamási Á. Gimn., 10. o.t.)

 
Megjegyzések. 1. Mivel a szorzat első tényezője 5-tel osztva 2 maradékot ad, így azonnal adódik, hogy nem lehet 1.
2. A feladatban a közismert x4+4y4 szorzattá alakítása van elrejtve.