Feladat:	Gy.3273	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babos Attila ,  Birkner Tamás ,  Fodor Gyula ,  Hablicsek Márton ,  Harangi Viktor ,  Keszegh Balázs ,  Kiss Gergely ,  Kovács Erika Renáta ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Lábó Eszter ,  Lábó Melinda ,  Lovrics Anna ,  Lovrics Klára ,  Nagy Zoltán ,  Pálvölgyi Dömötör ,  Pogátsa Attila ,  Sipos Ádám ,  Somogyi Dávid ,  Székelyhidi Tamás ,  Szélig Nikoletta ,  Venter György ,  Veres Péter ,  Zséger Ádám
Füzet:	1999/december, 531. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Algebrai átalakítások, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/április: Gy.3273

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle A}& {\displaystyle =5^{12}+2^{10}=5^{12}+2^{10}+2\cdot \left(5^6\cdot 2^5\right)-2\cdot \left(5^6\cdot 2^5\right)={\left(5^6+2^5\right)}^2-5^6\cdot 2^6=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(5^6+2^5-5^3\cdot 2^3\right)\left(5^6+2^5+5^3\cdot 2^3\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ A szorzat második tényezője nyilván nagyobb 1-nél. Belátjuk, hogy $5^6+2^5-5^3\cdot 2^3>1$. A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség miatt ugyanis $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 5^6+2^5\ge 2\sqrt[]{5^6\cdot 2^5}=\sqrt[]{2}\cdot 5^3\cdot 2^3\mathrm{,}}\\ \multicolumn{2}{c}{\text{<br>így}}\\ \hfill {\displaystyle 5^6+2^5-5^3\cdot 2^3\ge 5^3\cdot 2^3\left(\sqrt[]{2}-1\right)>1.}\end{array}}}\end{array}$ Tehát az $A$ felírható két, 1-nél nagyobb egész szám szorzataként, azaz összetett szám. Teljesen hasonló módon bizonyítható, hogy $a^{4k}+2^{4m+2}$ mindig összetett szám, ha $a$, $k$ és $m$ pozitív egészek: $\begin{array}{c}{\displaystyle a^{4k}+2^{4m+2}=\left(a^{2k}+2^{2m+1}-a^k{2}^{m+1}\right)\left(a^{2k}+2^{2m+1}+a^k{2}^{m+1}\right)\mathrm{.}}\end{array}$  Veres Péter (Székelyudvarhely, Tamási Á. Gimn., 10. o.t.)   Megjegyzések. 1. Mivel a szorzat első tényezője 5-tel osztva 2 maradékot ad, így azonnal adódik, hogy nem lehet 1. 2. A feladatban a közismert $x^4+4y^4$ szorzattá alakítása van elrejtve.