Feladat: F.3254 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Baharev Ali ,  Dancsó Zsuzsanna ,  Dénes Attila ,  Győri Nikolett ,  Györey Bernadett ,  Harangi Viktor ,  Horváth Gábor ,  Horváth László ,  Kiss Gergely ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Máthé András ,  Naszódi Gergely ,  Németh András ,  Pszota Anikó ,  Szabadka Zoltán ,  Szabó Péter ,  Székelyhidi Gábor ,  Szilasi Zoltán ,  Terpai Tamás ,  Vaik István ,  Vitéz Ildikó ,  Zábrádi Gergely 
Füzet: 1999/október, 414 - 417. oldal  PDF file
Témakör(ök): Geometriai transzformációk, Koordináta-geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/november: F.3254

Egy transzformáció a sík P(x;y) pontjához |x||y| esetén a
P'(xx2-y2;yx2-y2)
pontot rendeli, |x|=|y| esetén pedig önmagát. Határozzuk meg a sík egyeneseinek a transzformációval kapott képét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük T-vel a megadott transzformációt. Először megmutatjuk, hogy T inverze megegyezik T-vel. Ehhez elegendő azt belátnunk, hogy ha T-t egymás után kétszer alkalmazzuk, akkor minden pont képe önmaga. Ez nyilvánvaló azon pontok esetén, amelyek illeszkednek az y=x vagy az y=-x egyenletű egyenesekre. Legyen Q(a,b) egy olyan pont, amelyre |a||b|. Ekkor

T(T(Q(a,b)))=T(Q'(aa2-b2;ba2-b2))==Q''(aa2-b2(aa2-b2)2-(ba2-b2)2;ba2-b2(aa2-b2)2-(ba2-b2)2).

A Q'' pont koordinátáiban szereplő emeletes törteket átalakítva:
aa2-b2(aa2-b2)2-(ba2-b2)2=a(a2-b2)a2-b2=aésba2-b2(aa2-b2)2-(ba2-b2)2=b(a2-b2)a2-b2=b,
tehát Q'' valóban megegyezik Q-val.
Ha a síkon egy A alakzat egyenlete F(x,y)=0, S pedig olyan invertálható transzformáció, amelynek S-1 inverze a P(x,y) pontot a P'(x',y') pontba viszi, akkor az A alakzat S-nél származó képének egyenlete F(x',y')=0, mert PS(A) pontosan akkor teljesül, ha S-1(P)S-1(S(A)), azaz ha P'A.
Esetünkben T-1=T, tehát a transzformáció inverze is helyben hagyja azokat a pontokat, amelyeknek koordinátáira |x|=|y| teljesül, |x||y| esetén pedig T-1(P(x,y))=P'(xx2-y2;yx2-y2). A sík minden e egyenesének egyenlete felírható Ax+By+C=0 alakban, ahol A2+B20. Az e egyenesnek azok a pontjai, amelyek rajta vannak az y=x vagy az y=-x egyenletű egyeneseken, helyben maradnak a T transzformációnál, az e további pontjai pedig az előzőek alapján az
Axx2-y2+Byx2-y2+C=0
egyenletű alakzatra kerülnek. E pontok megegyeznek a
C(x2-y2)+Ax+By=0(1)
egyenletű alakzat pontjaival. Az (1) egyenlet C=0 esetén A2+B20 miatt egy origón átmenő egyenes egyenlete. Ha C0, akkor (1) a következő alakra hozható:
(x+A2C)2-(y-B2C)2=A2-B24C2.(2)
Ez |A||B| esetén egy hiperbola, |A|=|B| esetén pedig egy metsző egyenespár egyenlete.
Ezek alapján a sík egyeneseinek T-nél kapott képe a következő:
i) Ha e egy origón átmenő egyenes, akkor képe önmaga (1. ábra). Ha egyenlete y=±x, akkor a képe T definíciója szerint önmaga. Ha pedig egyenlete Ax+By=0, akkor C=0 miatt az (1) egyenlet, tehát e képének egyenlete is Ax+By=0, és ennek az egyenesnek minden pontja előáll képként.
ii) Ha e nem megy át az origón és nem párhuzamos az y=±x egyenletű egyenesek egyikével sem ‐ azaz ha C0 és |A||B| ‐, akkor e-nek az y=±x egyenletű egyenesekkel való metszéspontjai helyben maradnak, a további pontok képei pedig a (2) egyenletű hiperbolának az origótól különböző összes pontját befutják (2. ábra).
iii) Ha e nem megy át az origón, de párhuzamos az y=±x egyenletű egyenesek egyikével ‐ azaz ha C0 és |A|=|B| ‐, akkor a (2) egyenlet
(x+y+A-B2C)(x-y+A+B2C)=0(3)
alakba írható. |A|=|B| miatt a két egyenes egyike megegyezik az y=±x egyenesek egyikével. Az e egyenes képe a (3) egyenlettel leírt egyenespár másik egyenese lesz, kivéve a 3. ábrán látható metszéspontot. Ezen kívül ebben az esetben is lesz egy fixpont, e-nek az y=x vagy az y=-x egyenletű egyenessel való metszéspontja.
 Szilasi Zoltán (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 10. o.t.) dolgozata alapján