|
Feladat: |
F.3254 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Baharev Ali , Dancsó Zsuzsanna , Dénes Attila , Győri Nikolett , Györey Bernadett , Harangi Viktor , Horváth Gábor , Horváth László , Kiss Gergely , Kunszenti-Kovács Dávid , Máthé András , Naszódi Gergely , Németh András , Pszota Anikó , Szabadka Zoltán , Szabó Péter , Székelyhidi Gábor , Szilasi Zoltán , Terpai Tamás , Vaik István , Vitéz Ildikó , Zábrádi Gergely |
Füzet: |
1999/október,
414 - 417. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Geometriai transzformációk, Koordináta-geometria, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1998/november: F.3254 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük -vel a megadott transzformációt. Először megmutatjuk, hogy inverze megegyezik -vel. Ehhez elegendő azt belátnunk, hogy ha -t egymás után kétszer alkalmazzuk, akkor minden pont képe önmaga. Ez nyilvánvaló azon pontok esetén, amelyek illeszkednek az vagy az egyenletű egyenesekre. Legyen egy olyan pont, amelyre . Ekkor | |
A pont koordinátáiban szereplő emeletes törteket átalakítva: | | tehát valóban megegyezik -val. Ha a síkon egy alakzat egyenlete , pedig olyan invertálható transzformáció, amelynek inverze a pontot a pontba viszi, akkor az alakzat -nél származó képének egyenlete , mert pontosan akkor teljesül, ha , azaz ha . Esetünkben , tehát a transzformáció inverze is helyben hagyja azokat a pontokat, amelyeknek koordinátáira teljesül, esetén pedig . A sík minden egyenesének egyenlete felírható alakban, ahol . Az egyenesnek azok a pontjai, amelyek rajta vannak az vagy az egyenletű egyeneseken, helyben maradnak a transzformációnál, az további pontjai pedig az előzőek alapján az egyenletű alakzatra kerülnek. E pontok megegyeznek a egyenletű alakzat pontjaival. Az (1) egyenlet esetén miatt egy origón átmenő egyenes egyenlete. Ha , akkor (1) a következő alakra hozható: | | (2) | Ez esetén egy hiperbola, esetén pedig egy metsző egyenespár egyenlete. Ezek alapján a sík egyeneseinek -nél kapott képe a következő: i) Ha egy origón átmenő egyenes, akkor képe önmaga (1. ábra). Ha egyenlete , akkor a képe definíciója szerint önmaga. Ha pedig egyenlete , akkor miatt az (1) egyenlet, tehát képének egyenlete is , és ennek az egyenesnek minden pontja előáll képként. ii) Ha nem megy át az origón és nem párhuzamos az egyenletű egyenesek egyikével sem ‐ azaz ha és ‐, akkor -nek az egyenletű egyenesekkel való metszéspontjai helyben maradnak, a további pontok képei pedig a (2) egyenletű hiperbolának az origótól különböző összes pontját befutják (2. ábra). iii) Ha nem megy át az origón, de párhuzamos az egyenletű egyenesek egyikével ‐ azaz ha és ‐, akkor a (2) egyenlet | | (3) | alakba írható. miatt a két egyenes egyike megegyezik az egyenesek egyikével. Az egyenes képe a (3) egyenlettel leírt egyenespár másik egyenese lesz, kivéve a 3. ábrán látható metszéspontot. Ezen kívül ebben az esetben is lesz egy fixpont, -nek az vagy az egyenletű egyenessel való metszéspontja.
Szilasi Zoltán (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 10. o.t.) dolgozata alapján |
|
|