Kezdőlap


Feladat:	F.3241	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1999/október, 409 - 410. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Hasonlósági transzformációk, Alakzatba írt kör, Hossz, kerület, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/szeptember: F.3241

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A C_{1} B_{1}$ , $B C_{1} A_{1}$ , $C A_{1} B_{1}$ , $A_{1} B_{1} C_{1}$ és $A B C$ háromszögek területét és kerületét rendre $T_{1}$ , $K_{1}$ ; $T_{2}$ , $K_{2}$ ; $T_{3}$ , $K_{3}$ ; $T_{4}$ , $K_{4}$ és $T$ , $K$ -val. Tudjuk, hogy egy háromszög területének kétszerese megegyezik kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával. Az öt háromszög kerületére nyilvánvalóan teljesülő $\frac{K_{1} + K_{2} + K_{3}}{2} = \frac{K_{4} + K}{2}$ egyenlőséget tehát

\begin{matrix} \frac{T_{1}}{r_{1}} + \frac{T_{2}}{r_{2}} + \frac{T_{3}}{r_{3}} = \frac{T_{4}}{r_{4}} + \frac{T}{r} \end{matrix}

(1)

alakba is írhatjuk.
Legyen

α = B A C ∢

. Ekkor

2 T = A B \cdot A C \cdot sin α

és

2 T_{1} = A B_{1} \cdot A C_{1} \cdot sin α

. Mivel

\frac{A C_{1}}{C_{1} B} = λ

és

A C_{1} + C_{1} B = A B

, azért

A C_{1} = \frac{λ}{1 + λ} \cdot A B

; a

\frac{C B_{1}}{B_{1} A} = λ

és

C B_{1} + B_{1} A = C A

összefüggésekből pedig

A B_{1} = \frac{1}{1 + λ} \cdot A C

adódik. Vagyis

\begin{matrix} 2 T_{1} = A B_{1} \cdot A C_{1} \cdot sin α = \frac{λ}{{(1 + λ)}^{2}} \cdot A B \cdot A C \cdot sin α = \frac{λ}{{(1 + λ)}^{2}} \cdot 2 T . \end{matrix}

Ugyanígy látható be, hogy

T_{2} = T_{3} = \frac{λ}{{(1 + λ)}^{2}} \cdot T

is teljesül. Ebből következik, hogy

T_{4} = T - (T_{1} + T_{2} + T_{3}) = (1 - \frac{3 λ}{{(1 + λ)}^{2}}) \cdot T

. Ezeket az (1) egyenlőségbe írva:

\begin{matrix} \frac{λ \cdot T}{{(1 + λ)}^{2}} (\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}}) = (1 - \frac{3 λ}{{(1 + λ)}^{2}}) \frac{T}{r_{4}} + \frac{T}{r} . \end{matrix}

Ezt rendezve, és felhasználva az

\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} = \frac{1}{r_{4}} + \frac{4}{r}

feltételt, kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{λ}{{(1 + λ)}^{2}} (\frac{1}{r_{4}} + \frac{4}{r}) = \frac{1 - λ + λ^{2}}{{(1 + λ)}^{2}} \cdot \frac{1}{r_{4}} + \frac{1}{r} . \end{matrix}

Ezt

{(1 + λ)}^{2}

-tel szorozva, majd ismét rendezve:

\begin{matrix} \begin{matrix} λ \cdot \frac{1}{r_{4}} + 4 λ \cdot \frac{1}{r} = (1 - λ + λ^{2}) \cdot \frac{1}{r_{4}} + (1 + 2 λ + λ^{2}) \cdot \frac{1}{r}, \\ 0 = {(1 - λ)}^{2} \cdot (\frac{1}{r_{4}} + \frac{1}{r}) . \end{matrix} \end{matrix}

Ez csak akkor teljesülhet, ha

λ = 1

.
A

λ = 1

esetben az

A_{1}

B_{1}

C_{1}

pontok a háromszög oldalfelező pontjai, ezért a négy kis háromszög mindegyike hasonló az

A B C

háromszöghöz, a hasonlóság aránya

1 : 2

. Tehát ekkor

r_{1} = r_{2} = r_{3} = r_{4} = \frac{1}{2} r

, vagyis valóban teljesül az

\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} = \frac{1}{r_{4}} + \frac{4}{r}

összefüggés.