Feladat: F.3241 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1999/október, 409 - 410. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszög területe, Hasonlósági transzformációk, Alakzatba írt kör, Hossz, kerület, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/szeptember: F.3241

Az ABC háromszög AB, AC, illetve CB oldalán lévő C1, B1, A1 pontokra
AC1C1B=BA1A1C=CB1B1A=λ.
Legyen az AC1B1, BC1A1, CA1B1, A1B1C1 és ABC háromszögek beírt köreinek sugara rendre r1, r2, r3, r4 és r. Milyen λ értékekre teljesül az
1r1+1r2+1r3=1r4+4r
egyenlőség?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az AC1B1, BC1A1, CA1B1, A1B1C1 és ABC háromszögek területét és kerületét rendre T1, K1; T2, K2; T3, K3; T4, K4 és T, K-val. Tudjuk, hogy egy háromszög területének kétszerese megegyezik kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával. Az öt háromszög kerületére nyilvánvalóan teljesülő K1+K2+K32=K4+K2 egyenlőséget tehát

T1r1+T2r2+T3r3=T4r4+Tr(1)
alakba is írhatjuk.
Legyen α=BAC. Ekkor 2T=ABACsinα és 2T1=AB1AC1sinα. Mivel AC1C1B=λ és AC1+C1B=AB, azért AC1=λ1+λAB; a CB1B1A=λ és CB1+B1A=CA összefüggésekből pedig AB1=11+λAC adódik. Vagyis
2T1=AB1AC1sinα=λ(1+λ)2ABACsinα=λ(1+λ)22T.
Ugyanígy látható be, hogy T2=T3=λ(1+λ)2T is teljesül. Ebből következik, hogy T4=T-(T1+T2+T3)=(1-3λ(1+λ)2)T. Ezeket az (1) egyenlőségbe írva:
λT(1+λ)2(1r1+1r2+1r3)=(1-3λ(1+λ)2)Tr4+Tr.
Ezt rendezve, és felhasználva az 1r1+1r2+1r3=1r4+4r feltételt, kapjuk, hogy
λ(1+λ)2(1r4+4r)=1-λ+λ2(1+λ)21r4+1r.
Ezt (1+λ)2-tel szorozva, majd ismét rendezve:
λ1r4+4λ1r=(1-λ+λ2)1r4+(1+2λ+λ2)1r,0=(1-λ)2(1r4+1r).
Ez csak akkor teljesülhet, ha λ=1.
A λ=1 esetben az A1, B1, C1 pontok a háromszög oldalfelező pontjai, ezért a négy kis háromszög mindegyike hasonló az ABC háromszöghöz, a hasonlóság aránya 1:2. Tehát ekkor r1=r2=r3=r4=12r, vagyis valóban teljesül az 1r1+1r2+1r3=1r4+4r összefüggés.