Feladat: C.528 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bohák András ,  Farkas Milán ,  Gajdos Béla ,  Nagy Marianna ,  Révai Balázs ,  Zalán Péter 
Füzet: 1999/szeptember, 347 - 348. oldal  PDF file
Témakör(ök): Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Koordináta-geometria, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/január: C.528

Adott a térben három, egy ponton átmenő, egymásra páronként merőleges egyenes. Elhelyezhető-e egy tetszőleges hegyesszögű háromszög úgy, hogy mindegyik egyenesre essen csúcspontja?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a három, egy ponton átmenő, egymásra páronként merőleges egyenes a térbeli koordináta-rendszer három tengelye. A háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(x,0,0); B(0,y,0); C(0,0,z). Jelöljük a háromszög oldalait a szokásos módon a, b és c-vel. A kapott derékszögű háromszögekre írjuk fel Pitagorasz tételét:

x2+y2=c2,(1)x2+z2=b2,(2)y2+z2=a2.(3)
A háromszög akkor helyezhető el a kívánt módon, ha az egyenletrendszernek van megoldása.
A (3) és (2) különbségéből
y2-x2=a2-b2,
ezt az (1) egyenlet megfelelő oldalaival összeadva
2y2=a2+c2-b2.
Mivel hegyesszögű háromszögben bármely két oldal négyzetösszege nagyobb a harmadik oldal négyzeténél, y2 értéke pozitív. Hasonlóan kapjuk, hogy x2=b2+c2-a22 és z2=a2+b2-c22 is pozitív számok, így az (1), (2), (3) egyenletrendszer megoldható, az a, b, c oldalú háromszög tehát elhelyezhető a kívánt módon.
 Nagy Marianna (Kecskemét, Bányai J. Gimn., 12. o.t.)

 
Megjegyzések. 1. Látható, hogy x, y és z egymástól függetlenül vehetnek föl ellentett értékeket, így a háromszöget 23=8-féleképpen lehet elhelyezni. Ezek az elhelyezések az egyenesek által meghatározott síkokra vonatkozó tükrözésekkel kaphatók egymásból, a 8 egybevágó háromszög egy oktaédert alkot.
2. A bizonyításból az is következik, hogy tompaszögű háromszög nem helyezhető el a kívánt módon, derékszögű pedig csak úgy, ha a derékszögű csúcs a három egyenes metszéspontja, maga a háromszög pedig benne van a három egyenes közül kettőnek a síkjában.
3. Ismeretes, hogy ha három, egy ponton átmenő, egymásra páronként merőleges egyenest egy, a közös pontjukon át nem menő síkkal metszünk, akkor a döféspontok egy hegyesszögű háromszög csúcsai. A bizonyításból kiderül, hogy minden hegyesszögű háromszöget megkaphatunk ezen a módon.