Kezdőlap


Feladat:	C.528	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bohák András , Farkas Milán , Gajdos Béla , Nagy Marianna , Révai Balázs , Zalán Péter
Füzet:	1999/szeptember, 347 - 348. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Koordináta-geometria, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/január: C.528

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a három, egy ponton átmenő, egymásra páronként merőleges egyenes a térbeli koordináta-rendszer három tengelye. A háromszög csúcspontjainak koordinátái: $A (x, 0, 0)$ ; $B (0, y, 0)$ ; $C (0, 0, z)$ . Jelöljük a háromszög oldalait a szokásos módon $a$ , $b$ és $c$ -vel. A kapott derékszögű háromszögekre írjuk fel Pitagorasz tételét:

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = c^{2}, & (1) \\ x^{2} + z^{2} & = b^{2}, & (2) \\ y^{2} + z^{2} & = a^{2} . & (3) \end{matrix} \end{matrix}

A háromszög akkor helyezhető el a kívánt módon, ha az egyenletrendszernek van megoldása.
A (3) és (2) különbségéből

\begin{matrix} y^{2} - x^{2} = a^{2} - b^{2}, \end{matrix}

ezt az (1) egyenlet megfelelő oldalaival összeadva

\begin{matrix} 2 y^{2} = a^{2} + c^{2} - b^{2} . \end{matrix}

Mivel hegyesszögű háromszögben bármely két oldal négyzetösszege nagyobb a harmadik oldal négyzeténél,

y^{2}

értéke pozitív. Hasonlóan kapjuk, hogy

x^{2} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}

és

z^{2} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2}

is pozitív számok, így az (1), (2), (3) egyenletrendszer megoldható, az

a

b

c

oldalú háromszög tehát elhelyezhető a kívánt módon.

Nagy Marianna (Kecskemét, Bányai J. Gimn., 12. o.t.)

Megjegyzések. 1. Látható, hogy

x

y

és

z

egymástól függetlenül vehetnek föl ellentett értékeket, így a háromszöget

2^{3} = 8

-féleképpen lehet elhelyezni. Ezek az elhelyezések az egyenesek által meghatározott síkokra vonatkozó tükrözésekkel kaphatók egymásból, a 8 egybevágó háromszög egy oktaédert alkot.
2. A bizonyításból az is következik, hogy tompaszögű háromszög nem helyezhető el a kívánt módon, derékszögű pedig csak úgy, ha a derékszögű csúcs a három egyenes metszéspontja, maga a háromszög pedig benne van a három egyenes közül kettőnek a síkjában.
3. Ismeretes, hogy ha három, egy ponton átmenő, egymásra páronként merőleges egyenest egy, a közös pontjukon át nem menő síkkal metszünk, akkor a döféspontok egy hegyesszögű háromszög csúcsai. A bizonyításból kiderül, hogy minden hegyesszögű háromszöget megkaphatunk ezen a módon.