Feladat: F.3196 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bárány Kristóf ,  Barát Anna ,  Bíró Zsuzsanna ,  Dályay Virág ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Hartmann Miklós ,  Hegedűs Péter ,  Juhász András ,  Léka Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Lukács László ,  Mansur Boase ,  Pataki Péter ,  Pogány Ádám ,  Terpai Tamás ,  Vaik Zsuzsanna ,  Végh A. László 
Füzet: 1999/január, 30 - 32. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometrikus függvények, Számsorozatok, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/november: F.3196

Legyen az an sorozat a következő:
a0=1,an+1=sinann=0,1,2,...(2)
Mutassuk meg, hogy az nan2 sorozat korlátos.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először belátjuk, hogy cosx<11+x2, ha 0<x<π2. Mivel 0<x<π2 esetén sinx<x<tgx, azért

cosx1+x2<cosx1+tg2x=cos2x+sin2x=1,
tehát valóban cosx<11+x2.
Ezek után n-re vonatkozó indukcióval igazoljuk, hogy amennyiben n1, akkor 0<an<21n.
n=1 esetén: 0<a1=sin11<211=2. n=2-re 0<sin(sin1)<212=2.
Legyen k2, és tegyük fel, hogy k-ig minden természetes számra igaz a fenti állítás.
Nyilván sinak<sin21k, mivel ak<21k, a szinuszfüggvény szigorúan monoton növekvő a [0,π2] intervallumban, végül  0<ak<21k<π2. Felhasználva a sinx<x és a cosx<11+x2 egyenlőtlenségeket, kapjuk, hogy:
0<ak+1=sinak<sin21k=2sin1kcos1k<21k11+1k=21k+1.
Vagyis, ha n=k esetén igaz az állítás, akkor n=k+1 esetén is. Így minden n>1-re 0<an<21n. Ebből  0<nan2<4, az nan2 sorozat tehát valóban korlátos.
 


Megjegyzések. 1. A megoldás során nem bizonyítottuk a sinx<x<tgx egyenlőtlenséget. Ez persze csak akkor áll fenn, ha 0<x<π2.
Vegyük az egységsugarú kört és benne az x nagyságú középponti szöget.
Használjuk az ábra jelöléseit: az AB körív hossza x, BB'=sinx, AA'=tgx. Az AB körív hosszabb, mint az AB szakasz. Így AB>BB' miatt x>sinx. Az AOA' háromszög területe nagyobb, mint az AOB körcikk területe. Tehát:
tgx2=OAAA'2>AO2AOB2=x2.
Összefoglalva: sinx<x<tgx.
2. Körülményesebb úton a talált felső korlát javítható. Többen igazolták, hogy 0<nan2<3 is teljesül. Hegedűs Péter (Miskolc, Földes F. Gimn., 11. o.t.) amellett, hogy bebizonyította az élesített egyenlőtlenséget, felhívta figyelmünket, hogy Pólya György‐Szegő Gábor: Feladatok és tételek az analízis köréből I. című könyvében (Tankönyvkiadó, 1980) a II. fejezet 173. feladata szerint, ha sinx>0, akkor a sin1x=sinx, sinnx=sin(sinn-1x) iterációval megadott sorozatra
limnn3sinnx=1.
Eszerint a feladatban megadott nan2 sorozat nemcsak korlátos, hanem konvergens is, és a határértéke 3. Ez pedig azt jelenti, hogy ez a felső korlát már nem javítható tovább.