Feladat: Gy.3210 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ambrus Gergely ,  Andrássy Zoltán ,  Baharev Ali ,  Buruzs Ádám ,  Gyenes Zoltán ,  Győri Nikolett ,  Hegedűs Ákos ,  Horváth Hedvig ,  Kiss Gergely ,  Lábó Eszter ,  Lábó Melinda ,  Máthé András ,  Nagy Gergely ,  Nagy Tamás ,  Tolvaj Nándor ,  Vitéz Ildikó ,  Zalán Péter 
Füzet: 1998/december, 534 - 535. oldal  PDF file
Témakör(ök): Középponti és kerületi szögek, Trapézok, Húrnégyszögek, Síkgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/május: Gy.3210

A húrtrapézt két átlója négy háromszögre bontja. Bizonyítsuk be, hogy bármelyik háromszög köré írt kör középpontja rajta van az átlók metszéspontjából a trapéz oldalaira állított merőleges egyenesek valamelyikén.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a trapéz köré írt kör középpontja O, az átlók metszéspontja M, az AMD, illetve BMC háromszögek körülírt körének középpontja pedig O1, illetve O2. A további jelölések az ábrán találhatók. Az ABM és CDM háromszögekre a feladat állítása nyilvánvaló. A CDM háromszög külső szögeként AMD=2α, az AD íven nyugvó középponti szög AOD=2α, ezért az A, M, O, D pontok egy körön vannak, amelynek középpontja jelölésünk szerint O1. Ezekből következik, hogy O1M=O1O. Hasonlóan megmutatható, hogy O2M=O2O, és mivel MO az ábra szimmetriatengelye, az OO1MO2 négyszög rombusz. A rombusz OO1 oldala merőleges AD-re, ezért MO2 is merőleges AD-re.
Hasonlóan láthatjuk, hogy MO1 merőleges BC-re.
Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

 Tolvaj Nándor (Budapest, Árpád Gimn., 10. o.t.)