Feladat: F.3223 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baharev Ali ,  Balogh Attila ,  Bánfi Barnabás ,  Bankó Krisztián ,  Bárány Kristóf ,  Barát Anna ,  Bosznay Tamás ,  Bujdosó Attila ,  Börcsök József ,  Csóka Endre ,  Csornai Gyula ,  Devecsery András ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Győri Nikolett ,  Hangya Balázs ,  Hegedűs Péter ,  Hermann György ,  Horváth Gábor ,  Juhász András ,  Kajtár Márton ,  Katona Zsolt ,  Keszegh Balázs ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Léka Zoltán ,  Less Áron ,  Lippner Gábor ,  Lovas Róbert ,  Máthé András ,  Mecz Balázs ,  Naszódi Gergely ,  Németh Gábor ,  Páles Csaba ,  Pap Júlia ,  Papp Dávid ,  Pataki Péter ,  Pogány Ádám ,  Puskás Péter ,  Szabadka Zoltán ,  Székelyhidi Gábor ,  Terpai Tamás ,  Tisch Dávid ,  Vágvölgyi Péter ,  Végh A. László 
Füzet: 1998/október, 418 - 419. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Szimmetrikus sokszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/március: F.3223

Hány oldala lehet egy olyan sokszögnek, amelynek pontosan n darab szimmetriatengelye van?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a sokszög oldalainak száma n-nek egész számú többszöröse.
Tudjuk, hogy szimmetriatengelyt szimmetriatengelyre tükrözve ismét szimmetriatengelyt kapunk (mert az alakzat első tengelyre vonatkozó tükörképe szimmetrikus a második tengely tükörképére). Ezért az n darab szimmetriatengelynek egy ponton kell átmennie, mert ha valamelyik három egy háromszöget alkotna, akkor ezt a háromszöget az oldalaira tükrözve, majd az így kapott háromszögek oldalegyeneseit akárhányszor továbbtükrözve végtelen sok szimmetriatengelyt kapnánk, ami ellentmondás. Ugyanezen okból következik az is, hogy az n szimmetriatengely 2n darab egyenlő szögtartományra bontja a síkot.
Egy szimmetriatengely a sokszög kerületét csak annak valamelyik csúcsában vagy valamelyik oldalának felezőpontjában metszheti, mert egyébként az elmetszett oldalt a metsző tengelyre tükrözve nem kaphatnánk meg a sokszög egyik oldalát sem (hiszen azok nem metszik egymást belső pontban). Viszont a tengelyek által meghatározott 2n tartomány mindegyike ugyanannyi ,,féloldalt'' tartalmaz, ezért e tartományok tükrözésekkel egymásba vihetők. Így, ha az egyik tartományban k darab ,,féloldal'' van, akkor a sokszögnek összesen 2nk2=nk oldala van.
Másrészt egy szabályos n-szögből kiindulva ‐ aminek pontosan n darab szimmetriatengelye van ‐ könnyen konstruálhatunk minden k pozitív egészhez olyan kn oldalú sokszöget, aminek pontosan n szimmetriatengelye van. Ha k páros, akkor a 2., ha pedig k páratlan, akkor a 3. ábrán látható, hogyan képezhető egy-egy megfelelő sokszög.

 Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján