|
Feladat: |
F.3223 |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Baharev Ali , Balogh Attila , Bánfi Barnabás , Bankó Krisztián , Bárány Kristóf , Barát Anna , Bosznay Tamás , Bujdosó Attila , Börcsök József , Csóka Endre , Csornai Gyula , Devecsery András , Gueth Krisztián , Gyenes Zoltán , Győri Nikolett , Hangya Balázs , Hegedűs Péter , Hermann György , Horváth Gábor , Juhász András , Kajtár Márton , Katona Zsolt , Keszegh Balázs , Kunszenti-Kovács Dávid , Léka Zoltán , Less Áron , Lippner Gábor , Lovas Róbert , Máthé András , Mecz Balázs , Naszódi Gergely , Németh Gábor , Páles Csaba , Pap Júlia , Papp Dávid , Pataki Péter , Pogány Ádám , Puskás Péter , Szabadka Zoltán , Székelyhidi Gábor , Terpai Tamás , Tisch Dávid , Vágvölgyi Péter , Végh A. László |
Füzet: |
1998/október,
418 - 419. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tengelyes tükrözés, Szimmetrikus sokszögek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1998/március: F.3223 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy a sokszög oldalainak száma -nek egész számú többszöröse. Tudjuk, hogy szimmetriatengelyt szimmetriatengelyre tükrözve ismét szimmetriatengelyt kapunk (mert az alakzat első tengelyre vonatkozó tükörképe szimmetrikus a második tengely tükörképére). Ezért az darab szimmetriatengelynek egy ponton kell átmennie, mert ha valamelyik három egy háromszöget alkotna, akkor ezt a háromszöget az oldalaira tükrözve, majd az így kapott háromszögek oldalegyeneseit akárhányszor továbbtükrözve végtelen sok szimmetriatengelyt kapnánk, ami ellentmondás. Ugyanezen okból következik az is, hogy az szimmetriatengely darab egyenlő szögtartományra bontja a síkot. Egy szimmetriatengely a sokszög kerületét csak annak valamelyik csúcsában vagy valamelyik oldalának felezőpontjában metszheti, mert egyébként az elmetszett oldalt a metsző tengelyre tükrözve nem kaphatnánk meg a sokszög egyik oldalát sem (hiszen azok nem metszik egymást belső pontban). Viszont a tengelyek által meghatározott tartomány mindegyike ugyanannyi ,,féloldalt'' tartalmaz, ezért e tartományok tükrözésekkel egymásba vihetők. Így, ha az egyik tartományban darab ,,féloldal'' van, akkor a sokszögnek összesen oldala van. Másrészt egy szabályos -szögből kiindulva ‐ aminek pontosan darab szimmetriatengelye van ‐ könnyen konstruálhatunk minden pozitív egészhez olyan oldalú sokszöget, aminek pontosan szimmetriatengelye van. Ha páros, akkor a 2., ha pedig páratlan, akkor a 3. ábrán látható, hogyan képezhető egy-egy megfelelő sokszög.
Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján |
|
|