Megmutatjuk, hogy a sokszög oldalainak száma $n$-nek egész számú többszöröse.
Tudjuk, hogy szimmetriatengelyt szimmetriatengelyre tükrözve ismét szimmetriatengelyt kapunk (mert az alakzat első tengelyre vonatkozó tükörképe szimmetrikus a második tengely tükörképére). Ezért az $n$ darab szimmetriatengelynek egy ponton kell átmennie, mert ha valamelyik három egy háromszöget alkotna, akkor ezt a háromszöget az oldalaira tükrözve, majd az így kapott háromszögek oldalegyeneseit akárhányszor továbbtükrözve végtelen sok szimmetriatengelyt kapnánk, ami ellentmondás. Ugyanezen okból következik az is, hogy az $n$ szimmetriatengely $2n$ darab egyenlő szögtartományra bontja a síkot.
Egy szimmetriatengely a sokszög kerületét csak annak valamelyik csúcsában vagy valamelyik oldalának felezőpontjában metszheti, mert egyébként az elmetszett oldalt a metsző tengelyre tükrözve nem kaphatnánk meg a sokszög egyik oldalát sem (hiszen azok nem metszik egymást belső pontban). Viszont a tengelyek által meghatározott $2n$ tartomány mindegyike ugyanannyi ,,féloldalt'' tartalmaz, ezért e tartományok tükrözésekkel egymásba vihetők. Így, ha az egyik tartományban $k$ darab ,,féloldal'' van, akkor a sokszögnek összesen $2n\cdot \frac{k}{2}=n\cdot k$ oldala van.
Másrészt egy szabályos $n$-szögből kiindulva ‐ aminek pontosan $n$ darab szimmetriatengelye van ‐ könnyen konstruálhatunk minden $k$ pozitív egészhez olyan $k\cdot n$ oldalú sokszöget, aminek pontosan $n$ szimmetriatengelye van. Ha $k$ páros, akkor a 2., ha pedig $k$ páratlan, akkor a 3. ábrán látható, hogyan képezhető egy-egy megfelelő sokszög.