Feladat: F.3213 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Baharev Ali ,  Gáspár Merse Előd ,  Hegedűs Péter ,  Homolya Dániel ,  Horváth Gábor ,  Juhász András ,  Less Áron ,  Máthé András ,  Pap Júlia ,  Székelyhidi Gábor ,  Taraza Busra ,  Végh A. László ,  Vidor András 
Füzet: 1998/október, 415. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kocka, Tetraéderek, Térfogat, Szélsőérték-feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/január: F.3213

Egy kocka két kitérő élegyenesén mozog egy-egy egységnyi hosszúságú szakasz. A szakaszok melyik helyzetében lesz a végpontjaik által meghatározott tetraéder térfogata maximális?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kocka éle a hosszúságú, és legyen a kocka két kitérő éle AB és CD (a B és C csúcsok vannak egymás felett). Továbbá legyen a két egységnyi hosszúságú szakasz PQ (az AB élen) és XY (a CD élen). Vizsgáljuk meg, hogy mi történik, ha a PQ szakaszt mozgatjuk AB-n és XY-t rögzítjük. A PQX háromszög magassága a PQ egyenes és az X pont távolsága, ami ugyanaz, mint az AB egyenes és az X pont távolsága, tehát állandó. Ehhez a magassághoz tartozó alap is nyilván állandó (egységnyi), tehát a PQX háromszög területe állandó. A PQX háromszög mindig ugyanabban a síkban (az ABX síkban) van, és mivel a PQXY tetraéder magassága ennek a síknak és Y-nak a távolsága, ezért a tetraéder magassága állandó. Már beláttuk, hogy a tetraéder alapterülete sem változik, ezért a tetraéder térfogata is állandó.
Ugyanígy járhatunk el, ha PQ-t rögzítjük és XY-t mozgatjuk. Tehát ha a két szakasz tetszőleges helyzetéből indulunk ki, akkor előbb PQ-t, utána XY-t mozgatva eljutunk egy azonos térfogatú tetraéderhez, amelyben P egybeesik B-vel, és X egybeesik C-vel. A tetraéder PQX alapterülete a/2 és a magassága 1 (az XY szakasz hossza). Ebből következik, hogy a tetraéder térfogata a szakaszok tetszőleges helyzetében a/6.

 Székelyhidi Gábor (Kuwait, New English School, 11. o.t.)