Feladat: F.3210 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Füstös Melinda ,  Gyenes Zoltán ,  Juhász András ,  Lippner Gábor ,  Páles Csaba ,  Terpai Tamás ,  Végh A. László 
Füzet: 1998/október, 413. oldal  PDF file
Témakör(ök): Valós együtthatós polinomok, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/január: F.3210

Lehet-e egy kétváltozós valós együtthatós polinom értékkészlete a nyílt (0,+) intervallum?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy az (1-xy)2+x2 polinom értékkészlete a (0,+) intervallum. Nyilván (1-xy)2+x20. Másrészt (1-xy)2+x2=0 csak akkor teljesülhetne, ha 1-xy=0 és x=0. Viszont x=0 esetén 1-xy=1. Tehát (1-xy)2+x2>0. Végül belátjuk, hogy minden k>0 valós számhoz létezik olyan x, y számpár, amelyre (1-xy)2+x2=k. Legyen ugyanis x=k és y=1k. Ekkor (1-xy)2+x2=(1-1kk)2+(k)2=k. Ezzel állításunkat beláttuk.

 Juhász András (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.)

 
Megjegyzés. A jó megoldások mindegyike konstruktív volt, összesen 5-féle különböző polinomot mutattak a beküldők. A többiek a kétváltozós függvényekre helytelenül alkalmazták a felsőbb analízis eszközeit.