Feladat: F.3204 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Föglein Anna ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Homolya Dániel ,  Horváth Gábor ,  Kiss Norbert ,  Kutalik Péter ,  Léka Zoltán ,  Less Áron ,  Lippner Gábor ,  Máthé András ,  Páles Csaba ,  Pap Júlia ,  Papp Dávid ,  Pataki Péter ,  Robotka Zsolt ,  Serény András ,  Szabadka Zoltán ,  Székelyhidi Gábor ,  Terpai Tamás ,  Tisch Dávid ,  Tóth Ádám ,  Végh A. László ,  Vidor Anna 
Füzet: 1998/április, 228 - 229. oldal  PDF file
Témakör(ök): Többszemélyes véges játékok, Maradékos osztás, Maradékos osztás, kongruenciák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/december: F.3204

Két játékos a következő játékot játssza: 923k darab kavicsból felváltva elvesznek 9 vagy 2 vagy 3 kavicsot. Az veszít, aki már nem tud így elvenni. Van-e valamelyik játékosnak nyerő stratégiája?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a következő két halmazt:

S={2,3,4,7,8,9,10},R={0,1,5,6}.
Legyen a t-edik lépés után megmaradó kavicsok száma nt, az nt 11-gyel való osztási maradéka pedig mt.
Nézzük azt az esetet, amikor mtS. Ha mt{2,3,7,8}, akkor nt2. Ekkor 2 kavicsot elvéve a halmazból, azt kapjuk, hogy mt+1R.
mt{4,9} esetén nt4, így ha 3 kavicsot veszünk el a halmazból, akkor mt+1R. Egyetlen eset marad hátra: mt=10. Ekkor 9 kavicsot elvéve a halmazból, kapjuk, hogy mt+1R. Tehát ha mtS, akkor mindig tudunk úgy lépni, hogy mt+1R legyen. Könnyen látható, hogy ha mtR, akkor bármit lépünk, mindenképpen mt+1S. Összefoglalva: m0S esetén a kezdő tud úgy játszani, hogy minden lépése előtt a kavicsok számának 11-es maradéka az S halmazba essen. Így ő mindig tud lépni, tehát ekkor ő nyer. Hasonló meggondolással adódik, hogy m0R esetén a második játékos nyer. A mi esetünkben:
m0(923)k(-1)k(mod11).
Tehát, ha k páratlan, akkor a kezdőnek, különben pedig a második játékosnak van nyerő stratégiája.
 Székelyhidi Gábor (Kuwait, New English School, 11. évf.) dolgozata alapján