Feladat: F.3191 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bárány Kristóf ,  Barát Anna ,  Dályay Virág ,  Gelencsér Gábor ,  Gyenes Zoltán ,  Juhász András ,  Katona Zsolt ,  Lippner Gábor ,  Lukács László ,  Pap Júlia ,  Pogány Ádám ,  Székelyhidi Gábor ,  Terpai Tamás ,  Végh A. László ,  Vidor Anna ,  Zábrádi Gergely 
Füzet: 1998/április, 224 - 225. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb szinezési problémák, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/október: F.3191

Az n és p pozitív egész számokra teljesül, hogy n6, 4pn2. Színezzük ki egy szabályos n-szög p darab csúcsát pirosra, a többit kékre! Bizonyítsuk be, hogy létezik két egybevágó, legalább [p2]+1 csúcsú sokszög, amelyek közül az egyiknek minden csúcsa piros, a másiknak pedig minden csúcsa kék!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Színezzünk ki ugyanígy egy másik, ugyanekkora méretű szabályos n-szöget is. Rakjuk ezt az n-szöget az eredeti fölé úgy, hogy azonos színű csúcsok kerüljenek egymásra. Ezután forgassuk el a felső sokszöget rendre 2πn, 4πn, 6πn, ..., (n-1)2πn szöggel. A j2πn szögű forgatás során néhány piros csúcs kék csúcs fölé került: legyen ezek száma kj.
k1+k2+...+kn-1=p(n-p), mivel minden piros csúcs n-p esetben került kék csúcs fölé. A k1, k2, ..., kn-1 számok közül vegyük a legnagyobbat, legyen ez kt. Ekkor:

(n-1)ktk1+k2+...+kn-1=p(n-p).
Ebből: ktp(n-p)n-1. Felhasználva, hogy p<n+12, kapjuk:
ktp(n-p)n-1>p(n-n+12)n-1=p2[p2].
kt egész, tehát:
kt[p2]+1.

Jelöljük meg a t2πn szögű forgatás során a piros csúcsok alá került kék csúcsokat, és a felettük lévő piros csúcsokat. Így két egybevágó, legalább [p2]+1 csúcsú sokszöghöz jutunk, amelyek közül az egyiknek minden csúcsa piros, a másiknak minden csúcsa kék. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
 Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján