Kezdőlap


Feladat:	F.3191	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bárány Kristóf , Barát Anna , Dályay Virág , Gelencsér Gábor , Gyenes Zoltán , Juhász András , Katona Zsolt , Lippner Gábor , Lukács László , Pap Júlia , Pogány Ádám , Székelyhidi Gábor , Terpai Tamás , Végh A. László , Vidor Anna , Zábrádi Gergely
Füzet:	1998/április, 224 - 225. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb szinezési problémák, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/október: F.3191

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Színezzünk ki ugyanígy egy másik, ugyanekkora méretű szabályos $n$ -szöget is. Rakjuk ezt az $n$ -szöget az eredeti fölé úgy, hogy azonos színű csúcsok kerüljenek egymásra. Ezután forgassuk el a felső sokszöget rendre $\frac{2 π}{n}$ , $\frac{4 π}{n}$ , $\frac{6 π}{n}$ , $...$ , $(n - 1) \frac{2 π}{n}$ szöggel. A $j \cdot \frac{2 π}{n}$ szögű forgatás során néhány piros csúcs kék csúcs fölé került: legyen ezek száma $k_{j}$ .
$k_{1} + k_{2} + ... + k_{n - 1} = p (n - p)$ , mivel minden piros csúcs $n - p$ esetben került kék csúcs fölé. A $k_{1}$ , $k_{2}$ , $...$ , $k_{n - 1}$ számok közül vegyük a legnagyobbat, legyen ez $k_{t}$ . Ekkor:

\begin{matrix} (n - 1) k_{t} \geq k_{1} + k_{2} + ... + k_{n - 1} = p (n - p) . \end{matrix}

Ebből:

k_{t} \geq \frac{p (n - p)}{n - 1}

. Felhasználva, hogy

p < \frac{n + 1}{2}

, kapjuk:

\begin{matrix} k_{t} \geq \frac{p (n - p)}{n - 1} > \frac{p (n - \frac{n + 1}{2})}{n - 1} = \frac{p}{2} \geq [\frac{p}{2}] . \end{matrix}

k_{t}

egész, tehát:

\begin{matrix} k_{t} \geq [\frac{p}{2}] + 1. \end{matrix}

Jelöljük meg a

t \cdot \frac{2 π}{n}

szögű forgatás során a piros csúcsok alá került kék csúcsokat, és a felettük lévő piros csúcsokat. Így két egybevágó, legalább

[\frac{p}{2}] + 1

csúcsú sokszöghöz jutunk, amelyek közül az egyiknek minden csúcsa piros, a másiknak minden csúcsa kék. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján