Feladat: F.3195 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh Attila ,  Birkner Tamás ,  Csikvári András ,  Csirmaz Előd ,  Csóka Endre ,  Dályay Virág ,  Devecsery András ,  Fehér Lajos Károly ,  Gáspár Merse Előd ,  Gerbicz Róbert ,  Gyenes Zoltán ,  Hartmann Miklós ,  Horváth Gábor ,  Juhász András ,  Keszegh Balázs ,  Kőműves Balázs ,  Kutalik Péter ,  Léka Zoltán ,  Lengyel Tímea ,  Less Áron ,  Lippner Gábor ,  Lovas Róbert ,  Lukács László ,  Mátyási István ,  Méder Áron ,  Micskei Zoltán ,  Patakfalvi Zsolt ,  Pataki Péter ,  Pogány Ádám ,  Szabadka Zoltán ,  Szilágyi Judit ,  Taraza Busra ,  Terék Zsolt ,  Vaik István ,  Végh A. László ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1998/május, 287 - 288. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatóság, Konstruktív megoldási módszer, Prímszámok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/október: F.3195

Egy kocka alakú torta teljes felülete (az alja is) csokoládéval van bevonva. A tortát K ember között szeretnénk szétosztani úgy, hogy mindenki ugyanannyi tésztát és ugyanannyi csokoládébevonatot kapjon. Ezt úgy kívánjuk megvalósítani, hogy N×N×N egyforma kis kockára osztjuk a tortát, és mindenkinek ugyanannyi darabot adunk, ügyelve arra is, hogy a kapott részek csokis oldalainak együttes területe megegyezzen. Megtehető-e ez tetszőleges K-ra? Legalább hány részre kell felvágni a tortát, ha K=1997?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tortát K ember között kell elosztani, egy ember N3K kis kockát kap, és 6N2K darab 1×1-es csokoládébevonatot. Ezeknek a törteknek egész számoknak kell lenniük, ezért ha K prím, akkor K osztója lesz N-nek.
Először megmutatjuk, hogy a kívánt felosztás minden K2 természetes számra elvégezhető. Tegyük fel egyelőre, hogy K4, és legyen K=N. Vágjuk fel a tortát függőleges síkokkal L darab ,,függőleges szeletre''. Az ábra bal oldalán lévő ilyen szeletet vastag vonallal rajzoltuk meg. A két szélső szelet 4K+K2, a többi (belső) szelet 4K bevonatot tartalmaz. Minden ,,függőleges szelet'' K darab függőleges oszlopra vágható szét. Ezeket az oszlopokat három csoportba oszthatjuk: sarokoszlopok, fedőlapjukon S jelöléssel, élközép-oszlopok, fedőlapjukon E jellel; belső oszlopok B jelöléssel. Egy E jelű oszlopon K-val több bevonat van, mint egy B jelűn, egy S jelű oszlopon pedig K-val több, mint egy E jelűn. Ezután a tortát a K ember között úgy osztjuk el, hogy mindenki kap egy ,,függőleges szeletet'', és az a kettő, aki szélső szeletet kapott, a neki jutó K-2 darab E jelű oszlopot elcseréli B jelűre azokkal, akik belső szeletet kaptak, vigyázva arra, hogy minden belső szeletben két oszlop cserélődjön ki. A csere lehetséges, mert K4 miatt K-2 belső szelet van, és minden belső szeletben legalább két B jelű oszlop van. A cserék után a bevonatok száma mindegyik osztozkodónál 6K lesz. Ugyanis a két szélső szeletnél a bevonatok száma K(K-2)-vel csökkent, a belső szeleteknél pedig 2K-val növekedett.
Ha K=2, a tortát 8 kis kockára vágva mindketten 4 ugyanolyan darabot kapnak. Könnyen megoldható a K=3 eset is.
Mivel 1997 prím, és mint fent megállapítottuk, K osztója N-nek, a K=1997 esetben legalább 19973 részre kell vágni a tortát.

 Birkner Tamás (Budapest, Deutsche Schule, 5. évf.)