Feladat: F.3186 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balogh Ferenc ,  Benke András ,  Biener Péter ,  Gueth Krisztián ,  Győri Nikolett ,  Hajdufi Péter ,  Hartmann Miklós ,  Hegedűs Péter ,  Horváth András ,  Juhász András ,  Kiss András Péter ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Lázár Zsófia ,  Lippner Gábor ,  Lukács László ,  Németh András ,  Pál András ,  Páles Csaba ,  Pap Júlia ,  Pataki Péter ,  Pogány Ádám ,  Szakács László ,  Székelyhidi Gábor ,  Szilágyi Judit ,  Terpai Tamás ,  Végh A. László ,  Zábrádi Gergely ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1998/március, 160 - 161. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Trigonometrikus függvények, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/szeptember: F.3186

Tegyük fel, hogy a nemnegatív α1, ..., αn számokra αi+αjπ teljesül, ha ij. Bizonyítsuk be, hogy
1ni=1ncosαicos(1ni=1nαi).(4)

 Javasolták: Páles Csaba, Debrecen, Pap Gyula, Debrecen és Vörös Zoltán, Budapest


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

n=1-re az állítás triviálisan teljesül.
A továbbiakban feltesszük, hogy n2 és πα1α2...αn0; (nem megy az általánosság rovására). Először lássuk be a következőt (ami éppen a feladat állítása n=2 esetén):

cosα1+cosα22cosα1+α22.(1)
Alkalmazva az ismert azonosságot:
2cosα1+α22cosα1-α222cosα1+α22.
Ez viszont nyilván teljesül, hiszen
cosα1+α220,mert0α1+α22π2éscosα1-α221.
Ezzel (1)-et bebizonyítottuk.

Legyen α1'=α2'=α1+α22 és αi'=αi (i>2). Ekkor π2α1'α2'α3'...αn'0. Ezek után (1)-et alkalmazva:
1ni=1ncosαi=1n(i=3ncosαi+cosα1+cosα2)1n(i=3ncosαi+2cosα1+α22)==1n(cosαi')cos(1nαi').
Az utolsó egyenlőtlenség azért teljesül, mert a koszinusz-függvény [0,π2]-ben konkáv és αi'[0,π2].