Kezdőlap


Feladat:	F.3186	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Ferenc , Benke András , Biener Péter , Gueth Krisztián , Győri Nikolett , Hajdufi Péter , Hartmann Miklós , Hegedűs Péter , Horváth András , Juhász András , Kiss András Péter , Kunszenti-Kovács Dávid , Lázár Zsófia , Lippner Gábor , Lukács László , Németh András , Pál András , Páles Csaba , Pap Júlia , Pataki Péter , Pogány Ádám , Szakács László , Székelyhidi Gábor , Szilágyi Judit , Terpai Tamás , Végh A. László , Zábrádi Gergely , Zawadowski Ádám
Füzet:	1998/március, 160 - 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Trigonometrikus függvények, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/szeptember: F.3186

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$n = 1$ -re az állítás triviálisan teljesül.
A továbbiakban feltesszük, hogy $n \geq 2$ és $π \geq α_{1} \geq α_{2} \geq ... \geq α_{n} \geq 0$ ; (nem megy az általánosság rovására). Először lássuk be a következőt (ami éppen a feladat állítása $n = 2$ esetén):

\begin{matrix} cos α_{1} + cos α_{2} \leq 2 \cdot cos \frac{α_{1} + α_{2}}{2} . \end{matrix}

(1)

Alkalmazva az ismert azonosságot:

\begin{matrix} 2 \cdot cos \frac{α_{1} + α_{2}}{2} \cdot cos \frac{α_{1} - α_{2}}{2} \leq 2 \cdot cos \frac{α_{1} + α_{2}}{2} . \end{matrix}

Ez viszont nyilván teljesül, hiszen

\begin{matrix} cos \frac{α_{1} + α_{2}}{2} \geq 0, mert 0 \leq \frac{α_{1} + α_{2}}{2} \leq \frac{π}{2} és cos \frac{α_{1} - α_{2}}{2} \leq 1. \end{matrix}

Ezzel

(1)

-et bebizonyítottuk.

Legyen

α_{1}^{'} = α_{2}^{'} = \frac{α_{1} + α_{2}}{2}

és

α_{i}^{'} = α_{i}

(

i > 2

). Ekkor

\frac{π}{2} \geq α_{1}^{'} \geq α_{2}^{'} \geq α_{3}^{'} \geq ... \geq α_{n}^{'} \geq 0

. Ezek után

(1)

-et alkalmazva:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} cos α_{i} = \frac{1}{n} (\sum_{i = 3}^{n} cos α_{i} + cos α_{1} + cos α_{2}) \leq \frac{1}{n} (\sum_{i = 3}^{n} cos α_{i} + 2 cos \frac{α_{1} + α_{2}}{2}) = \\ = \frac{1}{n} (\sum cos α_{i}^{'}) \leq cos (\frac{1}{n} \sum α_{i}^{'}) . \end{matrix} \end{matrix}

Az utolsó egyenlőtlenség azért teljesül, mert a koszinusz-függvény

[0, \frac{π}{2}]

-ben konkáv és

α_{i}^{'} \in [0, \frac{π}{2}]