Feladat: 3270. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ambrus Gergely ,  Szilágyi Tamás 
Füzet: 2000/március, 179 - 181. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mesterséges holdak, Newton-féle gravitációs erő, Impulzusváltozás törvénye (Impulzus), Gravitációs helyzeti energia, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/szeptember: 3270. fizika feladat

Az R=6370km sugarú Föld körül r=2R sugarú körpályán kering egy mesterséges hold. Egy adott pillanatban a Föld középpontja felé irányuló sebességet kap. A lendületváltozás nagysága megegyezik a mesterséges hold korábbi lendületének nagyságával.
a) Határozzuk meg a mesterséges hold sebességét a lendületváltozás utáni pillanatban!
b) Milyen távolságra közelíti meg a mesterséges hold a Föld középpontját?
c) Mekkora a sebessége a Földhöz legközelebbi pontban?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. A körpályán való keringés dinamikai feltétele:
macp=mv022R=fmM(2R)2,v0=fM2R.
Mivel a lendületváltozás iránya merőleges az eredeti lendületre, Pitagorasz tétele szerint
mv1=(mv0)2+ΔI2=2(mv0)2,
ahonnan a műhold tömegével egyszerűsítve
v1=2v0=fMR=7925m/s
adódik. A műhold mechanikai energiája a lendületváltozás után
E=12mv12-fmM2R=0,
vagyis v1 éppen a szökési sebesség. Eszerint a műhold a továbbiakban parabolapályán mozog.
A műhold sebessége a Földhöz legközelebbi pontban a legnagyobb. Ekkor az energia- és a perdületmegmaradás miatt
vmax=2fMrmin,2Rv0=rminvmax.
Összevetve a két egyenletet
rmin=4R22fMfM2R=R=6370km,
vmax=2fMR=11208m/s.

 Szilágyi Tamás (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján

 
II. megoldás. A parabolapálya Földhöz legközelebb eső pontját tisztán geometriai megfontolásokból is megkaphatjuk. A lendületváltozás utáni pillanatban a műhold sebessége (amely érintőirányú) 45 szöget zár be a fókuszba húzott sugárral. A parabola ismert tulajdonságai miatt az érintő felezi a THF szöget, így ez derékszög (lásd az ábrát). Mivel HF párhuzamos a d vezéregyenessel, F és H egyenlő (2R-nyi) távolságra vannak d-től, ami azt jelenti, hogy a parabola csúcspontja egyaránt R távolságra lesz F-től és d-től.
 Ambrus Gergely (Szeged, Radnóti M. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján