Feladat: 3210. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Buella Csaba ,  Gajdos Béla ,  Katona Gergely ,  Takács Gábor ,  Tóth Bálint 
Füzet: 1999/május, 315 - 316. oldal  PDF file
Témakör(ök): Coulomb-törvény, Newton-féle gravitációs erő, Egyéb (Hold), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/december: 3210. fizika feladat

Elvileg a Föld és a Hold is feltölthető elektromosan úgy, hogy elektronokat lövünk ki róluk az űrbe. Legalább mennyi munkára lenne szükség így ahhoz, hogy a fellépő elektrosztatikus taszítás végül elszakítsa a Holdat a Földtől? Mire fordítódna a végzett munka legnagyobb része?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szükséges mennyiségű töltés eltávolítása után legyen a Föld töltése Q1, a Holdé Q2. Az elszakadás akkor következik be, ha az elektromos taszítóerő nagyobb lesz, mint a gravitációs vonzóerő:

kQ1Q2r2>fMFMHr2.
Innen Q1Q2>fMFMH/k (3,251027C2).
Ha valamelyik égitest (pl. a Föld) már Q töltésű, és el akarunk távolítani róla még -ΔQ töltést, akkor ehhez ΔW=kQΔQ/RF munkát kell végeznünk. Q lineárisan változik, átlagos nagysága Q1/2, a teljes munka 12kQ12/RF. (Úgy is érvelhetünk, hogy a gömbkondenzátornak tekinthető Föld elektrosztatikus energiája Q12/(2C)-re nő, C=RF/k.) Q1 össztöltésnek megfelelő számú elektron tömege m=Q1me/e, a gravitációs erő ellen végzett munka fMFm/RF.
Az összes munka:
W=kQ122RF+kQ222RH+fMFmeQ1RFe+fMHmeQ2RHe.
Felhasználva a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget valamint az elszakadás korábban felírt feltételét azt kapjuk, hogy
W>2kQ122RFkQ222RH+2fMFmeQ1RFefMHmeQ2RHe>fMFMHRFRH(1+2fme2ke2).
(Megjegyezzük, hogy ez nem a legélesebb alsó korlát a szükséges munkavégzésre.) A zárójelben álló második tag (amely a kilökött elektronok gravitációs helyzeti energiájával kapcsolatos) az elektronok nagyon nagy fajlagos töltése miatt csupán 10-20 nagyságrendű, így az 1 mellett nyilván elhanyagolható. A szükséges munka eszerint
W>fMFMHRFRH91030J.  
Ennek a munkának csak RFRH/r<0,01 része szükséges a Föld-Hold rendszer gravitációs helyzeti energiájának növelésére (r a Hold és a Föld jelenlegi távolsága), a munka túlnyomó része (több, mint 99%-a) a kialakuló elektrosztatikus mező energiáját fedezi.
 Buella Csaba (Tiszaújváros, Eötvös J. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján

 

Megjegyzések. 1. A szóban forgó munkavégzés (energia) nagyobb, mint amennyit az Univerzum tízmilliárd évre becsült életkorának megfelelő idő alatt a Föld ma működő összes erőműve termelni tudna.
2. A Földet és a Holdat 1017V nagyságrendű feszültségre kellene feltölteni ahhoz, hogy közöttük az elektromos taszítás nagyobb legyen, mint a gravitációs vonzás. Ehhez az elektronokat 1017eV energiára kellene felgyorsítanunk, s ez az érték sokmilliószor (!) nagyobb, mint a mai legnagyobb részecskegyorsítókban elérhető gyorsítási energia.