Kezdőlap


Feladat:	3210. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Buella Csaba , Gajdos Béla , Katona Gergely , Takács Gábor , Tóth Bálint
Füzet:	1999/május, 315 - 316. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Newton-féle gravitációs erő, Egyéb (Hold), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/december: 3210. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szükséges mennyiségű töltés eltávolítása után legyen a Föld töltése $Q_{1}$ , a Holdé $Q_{2}$ . Az elszakadás akkor következik be, ha az elektromos taszítóerő nagyobb lesz, mint a gravitációs vonzóerő:

\begin{matrix} k \frac{Q_{1} Q_{2}}{r^{2}} > f \frac{M_{F} M_{H}}{r^{2}} . \end{matrix}

Innen

Q_{1} Q_{2} > f M_{F} M_{H} / k

(

\approx 3, 25 \cdot 10^{27} C^{2}

).
Ha valamelyik égitest (pl. a Föld) már

Q

töltésű, és el akarunk távolítani róla még

- Δ Q

töltést, akkor ehhez

Δ W = k Q Δ Q / R_{F}

munkát kell végeznünk.

Q

lineárisan változik, átlagos nagysága

Q_{1} / 2

, a teljes munka

\frac{1}{2} k Q_{1}^{2} / R_{F}

. (Úgy is érvelhetünk, hogy a gömbkondenzátornak tekinthető Föld elektrosztatikus energiája

Q_{1}^{2} / (2 C)

-re nő,

C = R_{F} / k

Q_{1}

össztöltésnek megfelelő számú elektron tömege

m = Q_{1} m_{e} / e

, a gravitációs erő ellen végzett munka

f M_{F} m / R_{F}

.
Az összes munka:

\begin{matrix} W = \frac{k Q_{1}^{2}}{2 R_{F}} + \frac{k Q_{2}^{2}}{2 R_{H}} + \frac{f M_{F} m_{e} Q_{1}}{R_{F} e} + \frac{f M_{H} m_{e} Q_{2}}{R_{H} e} . \end{matrix}

Felhasználva a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget valamint az elszakadás korábban felírt feltételét azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} W > 2 \sqrt[]{\frac{k Q_{1}^{2}}{2 R_{F}} \cdot \frac{k Q_{2}^{2}}{2 R_{H}}} + 2 \sqrt[]{\frac{f M_{F} m_{e} Q_{1}}{R_{F} e} \cdot \frac{f M_{H} m_{e} Q_{2}}{R_{H} e}} > f \frac{M_{F} M_{H}}{\sqrt[]{R_{F} R_{H}}} (1 + 2 \sqrt[]{\frac{f m_{e}^{2}}{k e^{2}}}) . \end{matrix}

(Megjegyezzük, hogy ez nem a legélesebb alsó korlát a szükséges munkavégzésre.) A zárójelben álló második tag (amely a kilökött elektronok gravitációs helyzeti energiájával kapcsolatos) az elektronok nagyon nagy fajlagos töltése miatt csupán

10^{- 20}

nagyságrendű, így az 1 mellett nyilván elhanyagolható. A szükséges munka eszerint

\begin{matrix} W > f \frac{M_{F} M_{H}}{\sqrt[]{R_{F} R_{H}}} \approx 9 \cdot 10^{30} J. \end{matrix}

Ennek a munkának csak

\sqrt[]{R_{F} R_{H}} / r < 0, 01

része szükséges a Föld-Hold rendszer gravitációs helyzeti energiájának növelésére (

r

a Hold és a Föld jelenlegi távolsága), a munka túlnyomó része (több, mint

99 %

-a) a kialakuló elektrosztatikus mező energiáját fedezi.

Buella Csaba (Tiszaújváros, Eötvös J. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A szóban forgó munkavégzés (energia) nagyobb, mint amennyit az Univerzum tízmilliárd évre becsült életkorának megfelelő idő alatt a Föld ma működő összes erőműve termelni tudna.
2. A Földet és a Holdat

10^{17} V

nagyságrendű feszültségre kellene feltölteni ahhoz, hogy közöttük az elektromos taszítás nagyobb legyen, mint a gravitációs vonzás. Ehhez az elektronokat

10^{17} eV

energiára kellene felgyorsítanunk, s ez az érték sokmilliószor (!) nagyobb, mint a mai legnagyobb részecskegyorsítókban elérhető gyorsítási energia.