Feladat: 3167. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bacsárdi László ,  Balogh Tímea ,  Kocsis Bence ,  Lengyel Tímea ,  Sarlós Ferenc ,  Szabó László 
Füzet: 1999/február, 116 - 117. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hullámterjedés 1 dimenzióban (kötélhullámok), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/május: 3167. fizika feladat

Átlagosan mekkora teljesítményt vezet el az A amplitúdójú, f frekvenciájú rezgéseket végző testről a hozzá erősített feszes kötél, amelyben a rugalmas hullámok terjedési sebessége c, egységnyi hosszának tömege ϱ.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Ha egy kezdetben nyugvó, hosszú kötél egyik végét t ideig periodikusan mozgatjuk, akkor P átlagos teljesítmény esetén Pt munkát végzünk. Ezalatt a kötél ct hosszúságú, tehát m=ϱct tömegű darabja jön mozgásba. Számítsuk ki, mekkora átlagos mozgási és rugalmas energiája van ennek a kötéldarabnak!
A kötél minden darabkája A amplitúdójú, ω=2πf körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgást végez, tehát a legnagyobb sebessége vmax=Aω. Ha a sebesség legnagyobb értékével számolnánk, akkor a mozgási energiára 12mvmax2 értéket kapnánk, de mivel a sebesség nagysága nulla és vmax között váltakozik, az időben átlagolt mozgási energia (a váltóáramok effektív teljesítményéhez hasonlóan) a fenti értéknek csupán a fele:
Emozg=14ϱct(Aω)2.
A kötélnek (ha benne hullámok terjednek) a helyzeti energiája is megnő. (Longitudinális hullámok esetén ez rugalmas energiát jelent, megfeszített kötélben terjedő transzverzális hullámoknál pedig a feszítőerőt létesítő súly gravitációs helyzeti energiájának növekedésével azonosítható.) A helyzeti energia átlagos értéke és a mozgási energia átlagos értéke ─ hasonlóan, mint egyetlen rezgő testnél ─ éppen egyenlő, a kötél teljes energiája tehát Eteljes=2Emozg.. A munkatétel szerint
Pt=214ϱctA2ω2,
ahonnan a keresett átlagos teljesítmény P=2cϱπ2f2A2.
 
II. megoldás. Egy F erővel megfeszített kötélben c=F/ϱ sebességgel terjednek a transzverzális hullámok. Az A amplitúdójú, ω körfrekvenciájú hullámokat leíró függvény:
u(x,t)=Asinω(t-xc),
ahol u(x,t) a kötél végétől x távolságra levő rész elmozdulása a t időpillanatban.
A kötél vége (az x=0 adattal jellemezhető pont)
v(t)=Δu(0,t)Δt=u(0,t+Δt)-u(0,t)Δt=Aωcosωt
sebességgel mozog. (Kihasználtuk, hogy a szinuszfüggvény ,,változási üteme'' a koszinusz függvénnyel adható meg; ld. egy tömegpont harmonikus rezgőmozgását). Ugyanakkor a kötél végének ,,meredeksége'', vagyis térbeli változási üteme
tgα=u(x+Δx,t)-u(x,t)Δx=-Aωccosω(t+xc).
A kötél meredeksége miatt a végpontjánál az x tengely irányú F nagyságú erő mellett egy arra merőleges
F1(t)=-Ftgα(x=0,t)=FAωccosωt
erőt is ki kell fejtenünk.
A pillanatnyi teljesítmény (amit a kötél végét mozgató ember fejt ki, illetve amelynek megfelelő ütemben csökken a kötél végén mozgó test energiája)
P(t)=F1(t)v(t)=FA2ω2ccos2ωt.
Ennek a teljesítménynek időbeli átlaga (mivel cos2ωt átlaga 12)
Pátlag=12cFA2ω2=12ϱcA2(2πf)2.

 Több dolgozat alapján