Egy kezdősebességű őrhajó -tel egyenletesen gyorsulva üldözni kedzi a tőle 1km távol levő, vele egyező irányban 24km/h sebességgel haladó kalózhajót. Amikor 200 méterre megközelítette, a két hajóról egyszerre adnak le egy-egy lövést egymásra. A két lövedék pontosan egyszerre csapódik be. Mekkora sebességgel hagyta el a fegyver csövét a kalózhajóról kilőtt lövedék, ha az őrhajóról kilőtt lövedék 700m/s sebességgel röpült ki a csőből?
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A két hajó t idő alatt 200 m-re megközelíti egymást, miközben a kalózhajó x, az őrhajó pedig x+800 méternyi utat tesz meg. Mivel a kezdősebességük (m/s egységekben) v1=10, illetve v2=203, fennáll, hogy ahonnan azaz t=55,5s. Ennyi idő alatt az őrhajó v2+at≈32m/s sebességre gyorsul fel, a róla kilőtt lövedék tehát a parthoz viszonyítva 732m/s sebességgel hagyja el a hajót. Ha a lövedék t0 ideig repül (jó közelítéssel egyenes pályán), a becsapódás feltétele: | 732t0=200+203t0,azazt0=0,276s. | A kalózhajóról v0 (parthoz viszonyított) sebességgel kilőtt lövedék ugyancsak t0 idő alatt éri el az őrhajót, ennek feltétele: ahonnan v0=693,3m/s adódik. Az ágyúcsőhöz viszonyítva a lövedék sebessége: v0+v2=699,9m/s ≈700 m/s.
Hegedűs Péter (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., II. o.t.) |
II. megoldás. Írjuk le az eseményeket az egyenletes sebességgel mozgó kalózhajóból nézve! Az őrhajó kezdősebessége v0=(36-24)km/h=103 m/s, az ágyúk elsütésének pillanatáig eltelt idő tehát a egyenletből számíthatóan t=55,5s. Az őrhajó sebessége a lövés pillanatában (a kalózhajó koordináta-rendszeréből) v0+at=25,5 m/s, a lövedékének sebessége tehát 725,5 m/s. Ez a lövedék 200725,5=0,276s alatt éri el a kalózhajót, az onnan kilőtt (és a másikkal egyszerre becsapódó) lövedéknek is ugyanennyi idő alatt kell elérnie az őrhajót. Mivel azonban a gyorsuló őrhajó ezen idő alatt mintegy 7 m-nyi utat tesz meg, a kalózhajó lövedékének csak 193 m-re kell eljutnia, a torkolati sebessége tehát 1930,276≈700m/s.
Vető Bálint (Budapest, ELTE Radnóti M. Gyak. Gimn., II. o.t.) |
Megjegyzés. A lövések eldördülésének pillanatában az egyik hajó nyilván ugyanakkora sebességgel közeledett a másikhoz, mint a másik az egyikhez. Mivel mindkét lövedék ugyanannyi (és nagyon rövid) ideig repül, ezen idő alatt a hajók elmozdulása egyenletesnek tekinthető, így a hajók szerepe teljesen szimmetrikus: ha az egyik hajóból kilőtt lövedék (hajóhoz viszonyított) sebessége 700 m/s, akkor a másiknál is ugyanez kell teljesüljön. Ez a szimmetria a feladatban megadott számadatok konkrét értékétől függetlenül fennáll, mindössze annak kell teljesülnie, hogy a lövedék igen rövid repülési ideje alatt az őrhajó sebességváltozása ne legyen számottevő.
Péterfalvi Csaba (Szekszárd, Garay J. Gimn., II. o.t.) |
|
|