Kezdőlap


Feladat:	3072. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hegedűs Péter , Péterfalvi Csaba , Vető Bálint
Füzet:	1998/április, 247 - 248. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/május: 3072. fizika feladat

Egy

36 km/h

kezdősebességű őrhajó

0,4 m/s^{2}

-tel egyenletesen gyorsulva üldözni kedzi a tőle

1 km

távol levő, vele egyező irányban

24 km/h

sebességgel haladó kalózhajót. Amikor

200

méterre megközelítette, a két hajóról egyszerre adnak le egy-egy lövést egymásra. A két lövedék pontosan egyszerre csapódik be. Mekkora sebességgel hagyta el a fegyver csövét a kalózhajóról kilőtt lövedék, ha az őrhajóról kilőtt lövedék

700 m/s

sebességgel röpült ki a csőből?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A két hajó

t

idő alatt 200 m-re megközelíti egymást, miközben a kalózhajó

x

, az őrhajó pedig

x + 800

méternyi utat tesz meg. Mivel a kezdősebességük (m/s egységekben)

v_{1} = 10

, illetve

v_{2} = \frac{20}{3}

, fennáll, hogy

\begin{matrix} x + 800 = v_{1} t + \frac{a}{2} t^{2} és x = v_{2} t . \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} 0, 2 t^{2} + \frac{10}{3} t - 800 = 0, \end{matrix}

azaz

t = 55, 5 s

.
Ennyi idő alatt az őrhajó

v_{2} + a t \approx 32 m/s

sebességre gyorsul fel, a róla kilőtt lövedék tehát a parthoz viszonyítva

732 m/s

sebességgel hagyja el a hajót. Ha a lövedék

t_{0}

ideig repül (jó közelítéssel egyenes pályán), a becsapódás feltétele:

\begin{matrix} 732 t_{0} = 200 + \frac{20}{3} t_{0}, azaz t_{0} = 0, 276 s . \end{matrix}

A kalózhajóról

v_{0}

(parthoz viszonyított) sebességgel kilőtt lövedék ugyancsak

t_{0}

idő alatt éri el az őrhajót, ennek feltétele:

\begin{matrix} v_{0} t_{0} = 200 - 32 t_{0} - 0, 2 t_{0}^{2}, \end{matrix}

ahonnan

v_{0} = 693, 3 m/s

adódik. Az ágyúcsőhöz viszonyítva a lövedék sebessége:

v_{0} + v_{2} = 699, 9 m/s\approx700 m/s

Hegedűs Péter (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., II. o.t.)

II. megoldás. Írjuk le az eseményeket az egyenletes sebességgel mozgó kalózhajóból nézve! Az őrhajó kezdősebessége

v_{0} = (36 - 24) km/h=\frac{10}{3}

m/s, az ágyúk elsütésének pillanatáig eltelt idő tehát a

\begin{matrix} 0, 2 t^{2} + \frac{10}{3} t - 800 = 0 \end{matrix}

egyenletből számíthatóan

t = 55, 5 s

. Az őrhajó sebessége a lövés pillanatában (a kalózhajó koordináta-rendszeréből)

v_{0} + a t = 25, 5

m/s, a lövedékének sebessége tehát

725, 5

m/s. Ez a lövedék

\frac{200}{725, 5} = 0, 276

s alatt éri el a kalózhajót, az onnan kilőtt (és a másikkal egyszerre becsapódó) lövedéknek is ugyanennyi idő alatt kell elérnie az őrhajót. Mivel azonban a gyorsuló őrhajó ezen idő alatt mintegy 7 m-nyi utat tesz meg, a kalózhajó lövedékének csak 193 m-re kell eljutnia, a torkolati sebessége tehát

\frac{193}{0, 276} \approx 700 m/s

Vető Bálint (Budapest, ELTE Radnóti M. Gyak. Gimn., II. o.t.)

Megjegyzés. A lövések eldördülésének pillanatában az egyik hajó nyilván ugyanakkora sebességgel közeledett a másikhoz, mint a másik az egyikhez. Mivel mindkét lövedék ugyanannyi (és nagyon rövid) ideig repül, ezen idő alatt a hajók elmozdulása egyenletesnek tekinthető, így a hajók szerepe teljesen szimmetrikus: ha az egyik hajóból kilőtt lövedék (hajóhoz viszonyított) sebessége 700 m/s, akkor a másiknál is ugyanez kell teljesüljön.
Ez a szimmetria a feladatban megadott számadatok konkrét értékétől függetlenül fennáll, mindössze annak kell teljesülnie, hogy a lövedék igen rövid repülési ideje alatt az őrhajó sebességváltozása ne legyen számottevő.

Péterfalvi Csaba (Szekszárd, Garay J. Gimn., II. o.t.)