Feladat: 3072. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Hegedűs Péter ,  Péterfalvi Csaba ,  Vető Bálint 
Füzet: 1998/április, 247 - 248. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/május: 3072. fizika feladat

Egy 36km/h kezdősebességű őrhajó 0,4m/s2-tel egyenletesen gyorsulva üldözni kedzi a tőle 1km távol levő, vele egyező irányban 24km/h sebességgel haladó kalózhajót. Amikor 200 méterre megközelítette, a két hajóról egyszerre adnak le egy-egy lövést egymásra. A két lövedék pontosan egyszerre csapódik be. Mekkora sebességgel hagyta el a fegyver csövét a kalózhajóról kilőtt lövedék, ha az őrhajóról kilőtt lövedék 700m/s sebességgel röpült ki a csőből?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. A két hajó t idő alatt 200 m-re megközelíti egymást, miközben a kalózhajó x, az őrhajó pedig x+800 méternyi utat tesz meg. Mivel a kezdősebességük (m/s egységekben) v1=10, illetve v2=203, fennáll, hogy
x+800=v1t+a2t2ésx=v2t.
ahonnan
0,2t2+103t-800=0,
azaz t=55,5s.
Ennyi idő alatt az őrhajó v2+at32m/s sebességre gyorsul fel, a róla kilőtt lövedék tehát a parthoz viszonyítva 732m/s sebességgel hagyja el a hajót. Ha a lövedék t0 ideig repül (jó közelítéssel egyenes pályán), a becsapódás feltétele:
732t0=200+203t0,azazt0=0,276s.
A kalózhajóról v0 (parthoz viszonyított) sebességgel kilőtt lövedék ugyancsak t0 idő alatt éri el az őrhajót, ennek feltétele:
v0t0=200-32t0-0,2t02,
ahonnan v0=693,3m/s adódik. Az ágyúcsőhöz viszonyítva a lövedék sebessége: v0+v2=699,9m/s  700 m/s.
 Hegedűs Péter (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., II. o.t.)

 
II. megoldás. Írjuk le az eseményeket az egyenletes sebességgel mozgó kalózhajóból nézve! Az őrhajó kezdősebessége v0=(36-24)km/h=103 m/s, az ágyúk elsütésének pillanatáig eltelt idő tehát a
0,2t2+103t-800=0
egyenletből számíthatóan t=55,5s. Az őrhajó sebessége a lövés pillanatában (a kalózhajó koordináta-rendszeréből) v0+at=25,5 m/s, a lövedékének sebessége tehát 725,5 m/s. Ez a lövedék 200725,5=0,276s alatt éri el a kalózhajót, az onnan kilőtt (és a másikkal egyszerre becsapódó) lövedéknek is ugyanennyi idő alatt kell elérnie az őrhajót. Mivel azonban a gyorsuló őrhajó ezen idő alatt mintegy 7 m-nyi utat tesz meg, a kalózhajó lövedékének csak 193 m-re kell eljutnia, a torkolati sebessége tehát 1930,276700m/s.
 Vető Bálint (Budapest, ELTE Radnóti M. Gyak. Gimn., II. o.t.)

 
Megjegyzés. A lövések eldördülésének pillanatában az egyik hajó nyilván ugyanakkora sebességgel közeledett a másikhoz, mint a másik az egyikhez. Mivel mindkét lövedék ugyanannyi (és nagyon rövid) ideig repül, ezen idő alatt a hajók elmozdulása egyenletesnek tekinthető, így a hajók szerepe teljesen szimmetrikus: ha az egyik hajóból kilőtt lövedék (hajóhoz viszonyított) sebessége 700 m/s, akkor a másiknál is ugyanez kell teljesüljön.
Ez a szimmetria a feladatban megadott számadatok konkrét értékétől függetlenül fennáll, mindössze annak kell teljesülnie, hogy a lövedék igen rövid repülési ideje alatt az őrhajó sebességváltozása ne legyen számottevő.
 Péterfalvi Csaba (Szekszárd, Garay J. Gimn., II. o.t.)