Feladat:	3072. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hegedűs Péter ,  Péterfalvi Csaba ,  Vető Bálint
Füzet:	1998/április, 247 - 248. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/május: 3072. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A két hajó $t$ idő alatt 200 m-re megközelíti egymást, miközben a kalózhajó $x$, az őrhajó pedig $x+800$ méternyi utat tesz meg. Mivel a kezdősebességük (m/s egységekben) $v_1=10$, illetve $v_2=\frac{20}{3}$, fennáll, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle x+800=v_{1}t+\frac{a}{2}{t}^2\text{és}x=v_{2}t\mathrm{.}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\mathrm{,}2t^2+\frac{10}{3}t-800=\mathrm{0,}}\end{array}$ azaz $t=55\mathrm{,}5\text{s}$. Ennyi idő alatt az őrhajó $v_2+at\approx 32\text{m/s}$ sebességre gyorsul fel, a róla kilőtt lövedék tehát a parthoz viszonyítva $732\text{m/s}$ sebességgel hagyja el a hajót. Ha a lövedék $t_0$ ideig repül (jó közelítéssel egyenes pályán), a becsapódás feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle 732t_0=200+\frac{20}{3}{t}_0\mathrm{,}\text{azaz}{t}_0=0\mathrm{,}276\text{s}\mathrm{.}}\end{array}$ A kalózhajóról $v_0$ (parthoz viszonyított) sebességgel kilőtt lövedék ugyancsak $t_0$ idő alatt éri el az őrhajót, ennek feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_0{t}_0=200-32t_0-0\mathrm{,}2t_0^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $v_0=693\mathrm{,}3\text{m/s}$ adódik. Az ágyúcsőhöz viszonyítva a lövedék sebessége: $v_0+v_2=699\mathrm{,}9\text{m/s <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>≈</mo></math>700 }\text{m/s}$.  Hegedűs Péter (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., II. o.t.)   II. megoldás. Írjuk le az eseményeket az egyenletes sebességgel mozgó kalózhajóból nézve! Az őrhajó kezdősebessége $v_0=\left(36-24\right)\text{km/h=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}$ m/s, az ágyúk elsütésének pillanatáig eltelt idő tehát a $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\mathrm{,}2t^2+\frac{10}{3}t-800=0}\end{array}$ egyenletből számíthatóan $t=55\mathrm{,}5\text{s}$. Az őrhajó sebessége a lövés pillanatában (a kalózhajó koordináta-rendszeréből) $v_0+at=25\mathrm{,}5$ m/s, a lövedékének sebessége tehát $725\mathrm{,}5$ m/s. Ez a lövedék $\frac{200}{725\mathrm{,}5}=0\mathrm{,}276$s alatt éri el a kalózhajót, az onnan kilőtt (és a másikkal egyszerre becsapódó) lövedéknek is ugyanennyi idő alatt kell elérnie az őrhajót. Mivel azonban a gyorsuló őrhajó ezen idő alatt mintegy 7 m-nyi utat tesz meg, a kalózhajó lövedékének csak 193 m-re kell eljutnia, a torkolati sebessége tehát $\frac{193}{0\mathrm{,}276}\approx 700\text{m/s}$.  Vető Bálint (Budapest, ELTE Radnóti M. Gyak. Gimn., II. o.t.)   Megjegyzés. A lövések eldördülésének pillanatában az egyik hajó nyilván ugyanakkora sebességgel közeledett a másikhoz, mint a másik az egyikhez. Mivel mindkét lövedék ugyanannyi (és nagyon rövid) ideig repül, ezen idő alatt a hajók elmozdulása egyenletesnek tekinthető, így a hajók szerepe teljesen szimmetrikus: ha az egyik hajóból kilőtt lövedék (hajóhoz viszonyított) sebessége 700 m/s, akkor a másiknál is ugyanez kell teljesüljön. Ez a szimmetria a feladatban megadott számadatok konkrét értékétől függetlenül fennáll, mindössze annak kell teljesülnie, hogy a lövedék igen rövid repülési ideje alatt az őrhajó sebességváltozása ne legyen számottevő.  Péterfalvi Csaba (Szekszárd, Garay J. Gimn., II. o.t.)