Feladat: Gy.2956 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Brezovich Károly ,  Deli Tamás ,  Devecsery András ,  Fazekas Borbála ,  Fejős Ibolya ,  Frenkel Péter ,  Juhász András ,  Koncz Imre ,  Lippner Gábor ,  Nyakas Péter ,  Nyul Gábor ,  Várkonyi Péter ,  Völgyi István ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1995/október, 409 - 410. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenes, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/december: Gy.2956

Adott a síkon az egységnyi hosszúságú AB szakasz és rajta kívül a P pont. Az AB szakasz a P körül megforgatva egy t területű körgyűrűt súrol. Határozzuk meg azoknak a pontoknak a halmazát, amelyek körül AB-t megforgatva a keletkező körgyűrű területe ugyancsak t.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg, hogy egy tetszőleges X pont körül forgatva AB-t, mekkora a keletkező körgyűrű területe. Ha X-nek AB felező merőlegesére vonatkozó tükörképe X', akkor a szimmetria miatt az X-hez és az X'-höz tartozó körgyűrűk területe egyenlő. Ezért elegendő azokat a pontokat vizsgálnunk, amelyekre XAXB.
Legyen X-nek az AB egyenesen lévő merőleges vetülete T, jelöljük a TB távolságot x-szel. Ha T az AB szakaszon van, akkor x1, és az X-hez tartozó körgyűrű területe t(x)=XB2π-XT2π=TB2π=x2π (1. ábra).
Ha T az AB szakaszon kívül van, akkor x>1 és az X-hez tartozó körgyűrű területe (2. ábra):

t(x)=XB2π-XA2π=(XT2+TB2)π-(XT2+TA2)π==(TB2-TA2)π=(x2-(x-1)2)π=(2x-1)π.
Látható, hogy a körgyűrű területe nem X-től, hanem csak annak az AB egyenesen lévő merőleges vetületétől függ. A körgyűrű területét leíró
t={x2,ha  12x1,
 
2x-1,ha  1<x
függvény szigorúan monoton nő, ezért két ponthoz akkor és csak akkor tartozik ugyanakkora területű körgyűrű, ha ugyanaz az x érték tartozik hozzájuk.
Ezért a keresett pontok mértani helye ‐ a bevezetőben említett szimmetriát is felhasználva ‐ a P-ből az AB egyenesre bocsátott merőleges és ennek az AB felező merőlegesére vonatkozó tükörképe. Ha a körlapot elfajuló körgyűrűnek tekintjük, akkor a mértani helyet alkotó két egyenes és AB metszéspontjai is a halmazhoz tartoznak. Ha a körlapot nem tekintjük körgyűrűnek, akkor ezt a két pontot el kell hagynunk a halmazból.
 Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján