Kezdőlap


Feladat:	Gy.2956	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Brezovich Károly , Deli Tamás , Devecsery András , Fazekas Borbála , Fejős Ibolya , Frenkel Péter , Juhász András , Koncz Imre , Lippner Gábor , Nyakas Péter , Nyul Gábor , Várkonyi Péter , Völgyi István , Zawadowski Ádám
Füzet:	1995/október, 409 - 410. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenes, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/december: Gy.2956

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg, hogy egy tetszőleges $X$ pont körül forgatva $A B$ -t, mekkora a keletkező körgyűrű területe. Ha $X$ -nek $A B$ felező merőlegesére vonatkozó tükörképe $X'$ , akkor a szimmetria miatt az $X$ -hez és az $X'$ -höz tartozó körgyűrűk területe egyenlő. Ezért elegendő azokat a pontokat vizsgálnunk, amelyekre $X A \leq X B$ .
Legyen $X$ -nek az $A B$ egyenesen lévő merőleges vetülete $T$ , jelöljük a $T B$ távolságot $x$ -szel. Ha $T$ az $A B$ szakaszon van, akkor $x \leq 1$ , és az $X$ -hez tartozó körgyűrű területe $t (x) = X B^{2} \cdot π - X T^{2} \cdot π = T B^{2} \cdot π = x^{2} π$ (1. ábra).
Ha $T$ az $A B$ szakaszon kívül van, akkor $x > 1$ és az $X$ -hez tartozó körgyűrű területe (2. ábra):

\begin{matrix} \begin{matrix} t (x) & = X B^{2} \cdot π - X A^{2} \cdot π = (X T^{2} + T B^{2}) \cdot π - (X T^{2} + T A^{2}) π = \\ = (T B^{2} - T A^{2}) π = (x^{2} - {(x - 1)}^{2}) π = (2 x - 1) π . \end{matrix} \end{matrix}

Látható, hogy a körgyűrű területe nem

X

-től, hanem csak annak az

A B

egyenesen lévő merőleges vetületétől függ. A körgyűrű területét leíró

\begin{matrix} t = {\begin{matrix} x^{2}, & ha\frac{1}{2} \leq x \leq 1, \\ 2 x - 1, & ha1 < x \end{matrix} \end{matrix}

függvény szigorúan monoton nő, ezért két ponthoz akkor és csak akkor tartozik ugyanakkora területű körgyűrű, ha ugyanaz az

x

érték tartozik hozzájuk.
Ezért a keresett pontok mértani helye ‐ a bevezetőben említett szimmetriát is felhasználva ‐ a

P

-ből az

A B

egyenesre bocsátott merőleges és ennek az

A B

felező merőlegesére vonatkozó tükörképe. Ha a körlapot elfajuló körgyűrűnek tekintjük, akkor a mértani helyet alkotó két egyenes és

A B

metszéspontjai is a halmazhoz tartoznak. Ha a körlapot nem tekintjük körgyűrűnek, akkor ezt a két pontot el kell hagynunk a halmazból.

Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján