Feladat: N.47 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gyarmati Katalin ,  Izsák Ferenc ,  Makai Márton ,  Póczos Barnabás ,  Prahovean Cornel 
Füzet: 1995/szeptember, 352. oldal  PDF file
Témakör(ök): Konstruktív megoldási módszer, Maradékos osztás, Számsorozatok, Prímszámok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/november: N.47

Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan n2+3 alakú szám van (n egész), amelynek tetszőleges prímosztója egy k2+3 alakú számot is oszt, ahol 0k<n szintén egész.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen n=t2+t+3,  t pozitív egész szám. Ekkor

n2+3=(t2+t+3)2+3=(t2+3)2+2t(t2+3)+t2+3=(t2+3)[(t+1)2+3].
Nyilván n2+3 tetszőleges p prímosztója a jobb oldal valamelyik tényezőjének is osztója. Tegyük fel, hogy ez pl. t2+3. Ez esetben
0<t<t2+t+3=n
miatt p-hez találtunk megfelelő többszöröst, épp t2+3-at. Tegyük fel, hogy (t+1) maga is eleget tesz a feladat feltételeinek. Ekkor (t+1)2+3 minden q prímosztójához található olyan k, hogy qk2+3 és
0k<t+1t<n,
amiből következik, hogy q-hoz is van megfelelő többszörös.
Az n=3 érték éppen jó lesz, hiszen 32+3=12, és 212+3, valamint 302+3. A fentiek alapján az
n0=3,ni+1=(ni-1)2+(ni-1)+3(i0esetén)
rekurzióval definiált sorozat minden tagja megfelelő, és
ni+1=(ni-1)2+ni+2>ni
miatt ezek különbözőek is.