Kezdőlap


Feladat:	N.47	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gyarmati Katalin , Izsák Ferenc , Makai Márton , Póczos Barnabás , Prahovean Cornel
Füzet:	1995/szeptember, 352. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Maradékos osztás, Számsorozatok, Prímszámok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/november: N.47

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $n = t^{2} + t + 3$ , $t$ pozitív egész szám. Ekkor

\begin{matrix} n^{2} + 3 = {(t^{2} + t + 3)}^{2} + 3 = {(t^{2} + 3)}^{2} + 2 t (t^{2} + 3) + t^{2} + 3 = (t^{2} + 3) [{(t + 1)}^{2} + 3] . \end{matrix}

Nyilván

n^{2} + 3

tetszőleges

p

prímosztója a jobb oldal valamelyik tényezőjének is osztója. Tegyük fel, hogy ez pl.

t^{2} + 3

. Ez esetben

\begin{matrix} 0 < t < \sqrt[]{t^{2} + t + 3} = \sqrt[]{n} \end{matrix}

miatt

p

-hez találtunk megfelelő többszöröst, épp

t^{2} + 3

-at. Tegyük fel, hogy

(t + 1)

maga is eleget tesz a feladat feltételeinek. Ekkor

{(t + 1)}^{2} + 3

minden

q

prímosztójához található olyan

k

, hogy

q ∣ k^{2} + 3

és

\begin{matrix} 0 \leq k < \sqrt[]{t + 1} \leq t < \sqrt[]{n}, \end{matrix}

amiből következik, hogy

q

-hoz is van megfelelő többszörös.
Az

n = 3

érték éppen jó lesz, hiszen

3^{2} + 3 = 12

, és

2 ∣ 1^{2} + 3

, valamint

3 ∣ 0^{2} + 3

. A fentiek alapján az

\begin{matrix} n_{0} = 3, n_{i + 1} = {(n_{i} - 1)}^{2} + (n_{i} - 1) + 3 (i \geq 0 esetén) \end{matrix}

rekurzióval definiált sorozat minden tagja megfelelő, és

\begin{matrix} n_{i + 1} = {(n_{i} - 1)}^{2} + n_{i} + 2 > n_{i} \end{matrix}

miatt ezek különbözőek is.