Feladat: N.45 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Burcsi Péter ,  Dombi Gergely ,  Gyarmati Katalin ,  Izsák Ferenc ,  Pap Gyula ,  Póczos Barnabás ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Újváry-Menyhárt Mónika ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1995/május, 290 - 291. oldal  PDF file
Témakör(ök): Konstruktív megoldási módszer, Maradékos osztás, Periodikus sorozatok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/november: N.45

Mutassuk meg, hogy ha az a1, a2, ... számok nem mind nullák és kielégítik az an+2=|an+1|-an összefüggést, akkor valahonnét kezdve periodikusak és a legkisebb periódusuk 9.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a és b tetszőleges nemnegatív számok, legalább egyikük nullától különböző. Definiáljuk a (cn) sorozatot a következőképpen:

c1=a+b,c2=a,cn+2=|cn+1|-cn,(n=1,2,...).
Ekkor c3=-b,  c4=b-a,  c5=|b-a|+b,  c6=|b-a|+a,  c7=a-b,  c8=-a,  c9=b,  c10=a+b,  c11=a.q Látható, hogy c10=c1,  c11=c2, így ‐ a rekurziót felhasználva ‐ az n -re vonatkozó indukcióval igazolható, hogy a (cn) sorozat periodikus és egy periódusa 9. Jelölje k a sorozat legkisebb periódusát. Osszuk el 9-et maradékosan k-val: 9=qk+m,  0m<k; ekkor minden n pozitív egészre cn+m=cn+9-qk=cn-qk=cn, azaz m is periódus. A k minimalitása miatt ez csak úgy lehetséges, hogy m=0. vagyis k osztója a 9-nek. Tegyük fel, hogy k3, ekkor
0|b-a|+b=c5=c8=-a0,
tehát a=0=|b-a|+b, azaz a=b=0, amit kizártunk. Így k csak 9 lehet.
Legyen ezután (an) egy, a feladat követelményeit kielégítő sorozat. Öt esetet különböztetünk meg.
I. eset: a1<0, a2<0. Legyen a=-a2, b=-a1-a2, ekkor az ezekből képezett (cn) sorozat megfelelő elemeire c7=a-b=a1,  c8=-a=a2, ezért minden pozitív egész n-re an=cn+6. A feladat (mindkét) állítása ebben az esetben a (cn) sorozat bizonyított tulajdonsága miatt igaz.
II. eset: a1<0, a20. Legyen a=-a1, b=a2, ekkor az a, b-hez tartozó (cn) sorozat elemeire c8=-a=a1, c9=b=a2, így an=cn+7 igazolja a feladat állítását.
III. eset: a10, a2<0. Legyen a=a1, b=-a2, ekkor az előbbiekhez hasonlóan c2=a=a1,  c3=-b=a2,  an=cn+1.
IV. eset: a1>a20. Legyen a=a2, b=a1-a2, ekkor c1=a+b=a1,  c2=a=a2,  an=cn.
V. eset: a2a10. Legyen a=a2-a1, b=a1. Nyilván a és b csak úgy lehetne egyszerre nulla, ha a1 és a2 is az. Ezúttal c9=b=a1,  c10=a+b=a2 miatt an=cn+8.
 Braun Gábor (Budapest, Szent István Gimn., II. o.t.)