|
Feladat: |
N.45 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Braun Gábor , Burcsi Péter , Dombi Gergely , Gyarmati Katalin , Izsák Ferenc , Pap Gyula , Póczos Barnabás , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Tóth Gábor Zsolt , Újváry-Menyhárt Mónika , Valkó Benedek |
Füzet: |
1995/május,
290 - 291. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Konstruktív megoldási módszer, Maradékos osztás, Periodikus sorozatok, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/november: N.45 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek és tetszőleges nemnegatív számok, legalább egyikük nullától különböző. Definiáljuk a sorozatot a következőképpen: | | Ekkor , , , , , , , , .q Látható, hogy , , így ‐ a rekurziót felhasználva ‐ az -re vonatkozó indukcióval igazolható, hogy a sorozat periodikus és egy periódusa 9. Jelölje a sorozat legkisebb periódusát. Osszuk el 9-et maradékosan -val: , ; ekkor minden pozitív egészre , azaz is periódus. A minimalitása miatt ez csak úgy lehetséges, hogy . vagyis osztója a 9-nek. Tegyük fel, hogy , ekkor tehát , azaz , amit kizártunk. Így csak 9 lehet. Legyen ezután egy, a feladat követelményeit kielégítő sorozat. Öt esetet különböztetünk meg. I. eset: , . Legyen , , ekkor az ezekből képezett sorozat megfelelő elemeire , , ezért minden pozitív egész -re . A feladat (mindkét) állítása ebben az esetben a sorozat bizonyított tulajdonsága miatt igaz. II. eset: , . Legyen , , ekkor az , -hez tartozó sorozat elemeire , , így igazolja a feladat állítását. III. eset: , . Legyen , , ekkor az előbbiekhez hasonlóan , , . IV. eset: . Legyen , , ekkor , , . V. eset: . Legyen , . Nyilván és csak úgy lehetne egyszerre nulla, ha és is az. Ezúttal , miatt .
Braun Gábor (Budapest, Szent István Gimn., II. o.t.) |
|
|