Kezdőlap


Feladat:	N.45	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Burcsi Péter , Dombi Gergely , Gyarmati Katalin , Izsák Ferenc , Pap Gyula , Póczos Barnabás , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Tóth Gábor Zsolt , Újváry-Menyhárt Mónika , Valkó Benedek
Füzet:	1995/május, 290 - 291. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Maradékos osztás, Periodikus sorozatok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/november: N.45

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek $a$ és $b$ tetszőleges nemnegatív számok, legalább egyikük nullától különböző. Definiáljuk a $(c_{n})$ sorozatot a következőképpen:

\begin{matrix} c_{1} = a + b, c_{2} = a, c_{n + 2} = | c_{n + 1} | - c_{n}, (n = 1, 2, ...) . \end{matrix}

Ekkor

c_{3} = - b

c_{4} = b - a

c_{5} = | b - a | + b

c_{6} = | b - a | + a

c_{7} = a - b

c_{8} = - a

c_{9} = b

c_{10} = a + b

c_{11} = a

.q Látható, hogy

c_{10} = c_{1}

c_{11} = c_{2}

, így ‐ a rekurziót felhasználva ‐ az

n

-re vonatkozó indukcióval igazolható, hogy a

(c_{n})

sorozat periodikus és egy periódusa 9. Jelölje

k

a sorozat legkisebb periódusát. Osszuk el 9-et maradékosan

k

-val:

9 = q k + m

0 \leq m < k

; ekkor minden

n

pozitív egészre

c_{n + m} = c_{n + 9 - q k} = c_{n - q k} = c_{n}

, azaz

m

is periódus. A

k

minimalitása miatt ez csak úgy lehetséges, hogy

m = 0

. vagyis

k

osztója a 9-nek. Tegyük fel, hogy

k ∣ 3

, ekkor

\begin{matrix} 0 \leq | b - a | + b = c_{5} = c_{8} = - a \leq 0, \end{matrix}

tehát

a = 0 = | b - a | + b

, azaz

a = b = 0

, amit kizártunk. Így

k

csak 9 lehet.
Legyen ezután

(a_{n})

egy, a feladat követelményeit kielégítő sorozat. Öt esetet különböztetünk meg.
I. eset:

a_{1} < 0

a_{2} < 0

. Legyen

a = - a_{2}

b = - a_{1} - a_{2}

, ekkor az ezekből képezett

(c_{n})

sorozat megfelelő elemeire

c_{7} = a - b = a_{1}

c_{8} = - a = a_{2}

, ezért minden pozitív egész

n

-re

a_{n} = c_{n + 6}

. A feladat (mindkét) állítása ebben az esetben a

(c_{n})

sorozat bizonyított tulajdonsága miatt igaz.
II. eset:

a_{1} < 0

a_{2} \geq 0

. Legyen

a = - a_{1}

b = a_{2}

, ekkor az

a

b

-hez tartozó

(c_{n})

sorozat elemeire

c_{8} = - a = a_{1}

c_{9} = b = a_{2}

, így

a_{n} = c_{n + 7}

igazolja a feladat állítását.
III. eset:

a_{1} \geq 0

a_{2} < 0

. Legyen

a = a_{1}

b = - a_{2}

, ekkor az előbbiekhez hasonlóan

c_{2} = a = a_{1}

c_{3} = - b = a_{2}

a_{n} = c_{n + 1}

.
IV. eset:

a_{1} > a_{2} \geq 0

. Legyen

a = a_{2}

b = a_{1} - a_{2}

, ekkor

c_{1} = a + b = a_{1}

c_{2} = a = a_{2}

a_{n} = c_{n}

.
V. eset:

a_{2} \geq a_{1} \geq 0

. Legyen

a = a_{2} - a_{1}

b = a_{1}

. Nyilván

a

és

b

csak úgy lehetne egyszerre nulla, ha

a_{1}

és

a_{2}

is az. Ezúttal

c_{9} = b = a_{1}

c_{10} = a + b = a_{2}

miatt

a_{n} = c_{n + 8}

Braun Gábor (Budapest, Szent István Gimn., II. o.t.)