Feladat: F.3038 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bámer Balázs ,  Braun Gábor ,  Burcsi Péter ,  Csávás Csaba ,  Csiki Tibor Zoltán ,  Duzmath Zsolt ,  Ehreth Imre ,  Elek Péter ,  Erdélyi László ,  Farkas Illés ,  Gilyén Péter ,  Gröller Ákos ,  Gyukics Mihály ,  Hangya Balázs ,  Hegyi Barnabás ,  Horváth István ,  Kerekes Tamás ,  Kiss Zoltán ,  Kovács Baldvin ,  Lovász Zoltán ,  Németh Zoltán ,  Orbán András ,  Pap Gyula ,  Perényi Márton ,  Radnóti Gergely ,  Rozmán András ,  Sánta Zsuzsa ,  Séllei Béla ,  Szabó Ádám ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Szőke Ervin ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Valkó Benedek ,  Véber Miklós 
Füzet: 1995/május, 282 - 283. oldal  PDF file
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/november: F.3038

Az ABC háromszöglemezt az A csúcsában rögzített fonálra függesztjük. A legmélyebben fekvő csúcsból merőlegest bocsátunk a fonálra. Ennek az egyenesnek A-tól való távolságát jelölje ha. Hasonlóan értelmezzük ‐ a háromszöglemezt B-ben, ill. C-ben felfüggesztve ‐ hb és hc-t. Igaz-e, hogy ha a<b<c, akkor ha>hb>hc?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Függesszük fel először a háromszöget az A csúcsában rögzített fonálra. A ha szakasz definíciójából következik, hogy hasa, ahol sa az a oldalhoz tartozó súlyvonal. Az 1. ábrán a B és C csúcsoknak a fonáltól való távolsága BE, illetve CD. Használjuk az ábra további jelöléseit is, és tegyük fel, hogy a<b<c. Mivel az AF=sa súlyvonal felezi a háromszög területét, BE=CD, amit az ábrán x-szel jelöltünk. Feltettük, hogy b<c, ezért x2+AD2=b2<c2=x2+AE2, tehát AD<AE. Ez azt jelenti, hogy ha az A-ból induló oldalak közül c a nagyobb, akkor

x2+ha2=c2.(1)
Ha a háromszöget B-ben, majd C-ben függesztjük fel, és az x-nek megfelelő szerepű szakaszok y, illetve z, akkor hasonlóan kapjuk, hogy
y2+hb2=c2ész2+hc2=b2.(2)
Ismeretes, hogy a háromszög bármelyik súlyvonala hogyan fejezhető ki az oldalakkal, pl.
sa2=2b2+2c2-a24
(lásd Geometriai feladatok gyűjteménye, II. 292. feladat). A súlyvonalakról szóló formulákból azonnal következik, hogy ha a<b<c, akkor sa>sb>sc. Mivel a súlyvonalak felezik a háromszög területét, t=sax=sby=scz, és így
x<y<z.(3)
Az (1) és (2) összefüggésből ha2=c2-x2, hb2=c2-y2, hc2=b2-z2, és ezekből (3) alapján ha>hb>hc.
 Rozmán András (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o.t.)

 
Megjegyzés. A (2)-ben szereplő formulák származtatásakor előfordulhat, hogy a háromszöget a C csúcsában rögzített fonálra függesztve B magasabban lesz, mint C (2. ábra), de ez nem módosítja a megoldást.