Kezdőlap


Feladat:	F.3038	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bámer Balázs , Braun Gábor , Burcsi Péter , Csávás Csaba , Csiki Tibor Zoltán , Duzmath Zsolt , Ehreth Imre , Elek Péter , Erdélyi László , Farkas Illés , Gilyén Péter , Gröller Ákos , Gyukics Mihály , Hangya Balázs , Hegyi Barnabás , Horváth István , Kerekes Tamás , Kiss Zoltán , Kovács Baldvin , Lovász Zoltán , Németh Zoltán , Orbán András , Pap Gyula , Perényi Márton , Radnóti Gergely , Rozmán András , Sánta Zsuzsa , Séllei Béla , Szabó Ádám , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Szőke Ervin , Tóth Gábor Zsolt , Valkó Benedek , Véber Miklós
Füzet:	1995/május, 282 - 283. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/november: F.3038

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Függesszük fel először a háromszöget az $A$ csúcsában rögzített fonálra. A $h_{a}$ szakasz definíciójából következik, hogy $h_{a} \geq s_{a}$ , ahol $s_{a}$ az $a$ oldalhoz tartozó súlyvonal. Az 1. ábrán a $B$ és $C$ csúcsoknak a fonáltól való távolsága $B E$ , illetve $C D$ . Használjuk az ábra további jelöléseit is, és tegyük fel, hogy $a < b < c$ . Mivel az $A F = s_{a}$ súlyvonal felezi a háromszög területét, $B E = C D$ , amit az ábrán $x$ -szel jelöltünk. Feltettük, hogy $b < c$ , ezért $x^{2} + A D^{2} = b^{2} < c^{2} = x^{2} + A E^{2}$ , tehát $A D < A E$ . Ez azt jelenti, hogy ha az $A$ -ból induló oldalak közül $c$ a nagyobb, akkor

\begin{matrix} x^{2} + h_{a}^{2} = c^{2} . \end{matrix}

(1)

Ha a háromszöget

B

-ben, majd

C

-ben függesztjük fel, és az

x

-nek megfelelő szerepű szakaszok

y

, illetve

z

, akkor hasonlóan kapjuk, hogy

\begin{matrix} y^{2} + h_{b}^{2} = c^{2} és z^{2} + h_{c}^{2} = b^{2} . \end{matrix}

(2)

Ismeretes, hogy a háromszög bármelyik súlyvonala hogyan fejezhető ki az oldalakkal, pl.

\begin{matrix} s_{a}^{2} = \frac{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}{4} \end{matrix}

(lásd Geometriai feladatok gyűjteménye, II. 292. feladat). A súlyvonalakról szóló formulákból azonnal következik, hogy ha

a < b < c

, akkor

s_{a} > s_{b} > s_{c}

. Mivel a súlyvonalak felezik a háromszög területét,

t = s_{a} \cdot x = s_{b} \cdot y = s_{c} \cdot z

, és így

\begin{matrix} x < y < z . \end{matrix}

(3)

Az (1) és (2) összefüggésből

h_{a}^{2} = c^{2} - x^{2}

h_{b}^{2} = c^{2} - y^{2}

h_{c}^{2} = b^{2} - z^{2}

, és ezekből (3) alapján

h_{a} > h_{b} > h_{c}

Rozmán András (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o.t.)

Megjegyzés. A (2)-ben szereplő formulák származtatásakor előfordulhat, hogy a háromszöget a

C

csúcsában rögzített fonálra függesztve

B

magasabban lesz, mint

C

(2. ábra), de ez nem módosítja a megoldást.